2022年山西省晋城市郭峪中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于任意角α和β,若满足α+β=,则称α和β“广义互余”.已知sin(π+θ)=﹣,①sinγ=;②cos(π+γ)=;③tanγ=﹣2;④tanγ=
上述角γ中,可能与角θ“广义互余”的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
参考答案:
C
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;新定义;分类讨论;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】①由已知可得sin2γ+sin2(π+θ)=1,得: +γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),即可判断θ和γ可能是广义互余;
②由于sinθ=sin(γ﹣),解得γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,即可得解θ和γ不可能是广义互余;
③解得±sinθ=sin(﹣γ),当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),可得a和β有可能是广义互余;
④解得cos2γ+sin2θ=1,可得γ﹣θ=2kπ,可得γ和θ不可能是广义互余.
【解答】解:∵sin(π+θ)=﹣,可得:sinθ=,
∴①sin2γ+sin2(π+θ)=1,可得: +γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),故θ和γ可能是广义互余;
②cos(π+γ)=﹣cosγ=﹣sin(π+θ)=sinθ=sin(γ﹣),
∴θ=γ﹣+2kπ,或θ=π﹣(γ﹣)+2kπ,(k∈Z),
∴γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,(k∈Z),
α+β不可能等于90°,θ和γ不可能是广义互余;
③当tanγ=﹣2时,可得cosγ=±=±sinθ=sin(﹣γ),
当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),
可得a和β有可能是广义互余;
④当tanγ=时,cosγ=±,此时cos2γ+sin2θ=1,γ﹣θ=2kπ,(k∈Z),
∴γ和θ不可能是广义互余.
故选:C.
【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的运用,考查了三角函数的图象和性质,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.
2. 某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计:语文成绩(x)高于85分,数学成绩(y)不低于80分,用不等式组可以表示为
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 若向量=(1,1),=(1,﹣1),=(﹣1,2),则c=( )
A. ﹣ B.﹣ + C.﹣ + D. ﹣
参考答案:
D
【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.
【分析】设,列方程组解出λ,μ即可.
【解答】解:设,则,解得,
故选D.
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算,属于基础题.
4. 已知,则下列不等式正确的是:( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】HP:正弦定理;GS:二倍角的正弦.
【分析】由题意可得 0<2A<,且 <3A<π,解得A的范围,可得cosA的范围,由正弦定理求得 =2cosA,解得所求.
【解答】解:锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,B=2A,∴0<2A<,且B+A=3A,
∴<3A<π.
∴<A<,
∴<cosA<. 由正弦定理可得 ==2cosA,∴<2cosA<,
故选 B.
6. (5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是()
A. 42+6 B. 30+6 C. 66 D. 44
参考答案:
A
考点: 由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为3的四棱柱,即可求出该多面体的表面积.
解答: 由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为3的四棱柱,
所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6,
故选:A.
点评: 本题考查三视图,考查学生的计算能力,比较基础.
7. 在直角三角形△ABC中,,,点P在△ABC斜边BC的中线AD上,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由已知条件,可以建立以的方向为轴的正方向的直角坐标系, 求出三点的坐标,由于是斜边的中线,可以求出点坐标,设点的坐标,点在上,所以设,求出点的坐标,根据平面向量的数量积的坐标表示求出的表达式,利用二次函数求最值的方法,求出的最大值.
【详解】因为,所以以的方向为轴的正方向,建立直角坐标系,如下图所示:
所以
设,
所以,,
,所以当时,的最大值为,故本题选C.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、二次函数的最值,考查了数形结合、构造函数法,求出的坐标表达式,是解题的关键.
8. 如图为互相垂直的单位向量,向量可表示为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
9. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.2 B.1
C. D.
参考答案:
C
略
10. tan210°的值是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
D
【考点】运用诱导公式化简求值.
【专题】三角函数的求值.
【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为tan30°,从而求得它的结果.
【解答】解:tan210°=tan=tan30°=,
故选D.
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知lg2=a,10b=3,则log125= .(用a、b表示)
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】化指数式为对数式,把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有lg2和lg3的代数式得答案.
【解答】解:∵10b=3,
∴lg3=b,
又lg2=a,
∴log125=.
故答案为:.
【点评】本题考查了对数的换底公式,考查了对数的运算性质,是基础题.
12. 如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图,A、B、C、D为其上四个点,以A、B、C、D为顶点的三棱锥的体积为 。
参考答案:
13. 下面程序表示的函数解析式是 .
参考答案:
略
14. 设,函数的图像向右平移个单位长度后与原图象重合,则的最小值是 .
参考答案:
15. 函数的反函数是,则的值是
参考答案:
6
16. 若函数f(x)满足f()=x2+3,则f(0)= .
参考答案:
4
【考点】函数的值.
【专题】计算题;规律型;函数思想;试验法;函数的性质及应用.
【分析】直接利用函数的解析式,求解函数值即可.
【解答】解:函数f(x)满足f()=x2+3,
则f(0)=f()=(﹣1)2+3=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力.
17. 设f(x)=9x﹣2.3x,则f﹣1(0)= .
参考答案:
log32
【考点】函数的值.
【分析】由f(x)=9x﹣2.3x=0,能求出f﹣1(0)的值.
【解答】解:∵f(x)=9x﹣2.3x,
∴当f(x)=0,即9x﹣2.3x=0时,
9x=2?3x,解得x=log32,
∴f﹣1(0)=log32.
故答案为:log32.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意反函数性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度). ,.
(1)求道路BE的长度;
(2)求生活区△ABE面积的最大值.
参考答案:
19. 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2,记bn=an+1﹣2an.
(Ⅰ)求b1,并证明{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
参考答案:
【考点】8H:数列递推式;8D:等比关系的确定.
【分析】(Ⅰ)由Sn+1=4an+2得,当n≥2时,有Sn=4an﹣1+2,两式相减得出an+1=4an﹣4an﹣1,移向an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1),可证{bn}是等比数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=3?2n﹣1,an+1﹣2an=3?2n﹣1,两边同除以2n,构造出,数列{}是首项,公差为的等差数列.通过数列{}的通项求出{an}的通项公式.
【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,Sn+1=4an+2,
∴S2=4a1+2=a1+a2,a2=5,
∴b1=a2﹣2a1.=3,
另外,由Sn+1=4an+2得,当n≥2时,有Sn=4an﹣1+2,
∴Sn+1﹣Sn=(4an+2)﹣(4an﹣1+2),
即an+1=4an﹣4an﹣1,an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1),n≥2
又∵bn=an+1﹣2an.∴bn=2bn﹣1.
∴数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=3?2n﹣1,
an+1﹣2an=3?2n﹣1,
∴﹣=,数列{}是首项,公差为的等差数列.
=+(n﹣1)×=n﹣
an=(3n﹣1)?2n﹣2
20. 已知圆C圆心坐标为点为坐标原点,x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB.
(1)证明:△OAB的面积为定值;
(2)设直线与圆C交于M,N两点,若,求圆C的方程.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)利用几何条件可知,△OAB为直角三角形,且圆过原点,所以得知三角形两直角边边长,求得面积;
(2)由及原点O在圆上,知OCMN,所以 ,求出 的值,再利用直线与圆的位置关系判断检验,符合题意的解,最后写出圆的方程。
【详解】(1)因为轴、轴被圆截得的弦分别为、,
所以经过,又为中点,所以,所以
,所以的面积为定值.
(2)因为直线与圆交于两点,,
所以的中垂线经过,且过,所以的方程,
所以,所以当时,有圆心,半径,
所以圆心到直线的距离为,
所以直线与圆交于点两点,故成立;
当时,有圆心,半径,所以圆心到直线的距离为,所以直线与圆不相交,故(舍去),
综上所述,圆的方程为.
【点睛】本题通过直线与圆的有关知识,考查学生直观想象和逻辑推理能力。解题注意几何条件的运用可以简化运算。
21. 若函数在上的最大值比最小值大,求的值。
参考答案:
22. 已知函数
(Ⅰ)若,求在[-3,0]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若关于x的方程在(0,+∞)上有两个不相等实根,求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)若,,其中,则由图象可知,;
(Ⅱ)关于的方程在上有两个不相等实根,转化为
有两个不相等正根,
则,得到.