2022年辽宁省沈阳市东北中心中学高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是实数,则“且”是“且”的 ( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
2. 已知,,且、都是锐角,则+( )
A B C 或 D 或
参考答案:
B
3. 若,则tan2α等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则?=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
D
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可.
【解答】解:∵正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,
∴?=(+)?
=?+?=×1×1×+×1×1×=,
故选:D.
5. 如图,D为等腰三角形ABC底边AB的中点,则下列等式恒成立的是( )
A. ?=0 B. ?=0 C. ?=0 D. ?=0
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由于D为等腰三角形ABC底边AB的中点,可得CD⊥AB,即可得出=0.
【解答】解:∵D为等腰三角形ABC底边AB的中点,
∴CD⊥AB.
∴=0.
故选:B.
6. 有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人作问卷调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5,10,15,20 B.2,6,10,14 C.2,4,6,8 D.5,8,11,14
参考答案:
A
略
7. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于 ()
A.11或18 B.11 C.18 D.17或18
参考答案:
C
8. 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是 ( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
参考答案:
D
略
9. 不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知椭圆中心在原点,且一个焦点为,直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为1,则此椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
设椭圆方程为
联立方程:,整理得:,
设,,则,即,化简得:,
又,易得:,
∴此椭圆的方程是
故选:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于 .
参考答案:
或
【考点】解三角形.
【分析】由已知,结合正弦定理可得,从而可求sinC及C,利用三角形的内角和公式计算A,利用三角形的面积公式进行计算可求
【解答】解:△ABC中,c=AB=,b=AC=1.B=30°
由正弦定理可得
b<c∴C>B=30°
∴C=60°,或C=120°
当C=60°时,A=90°,
当C=120°时,A=30°,
故答案为:或
12. F1、F2是椭圆的左、右两焦点,P为椭圆的一个顶点,若△PF1F2是等边三角形,则a2=________.
参考答案:
12
略
13. 已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值 .
参考答案:
5﹣4
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.
【解答】解:如图,圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1,圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,
即:﹣4=5﹣4.
故答案为:5﹣4.
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,考查两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力,考查数形结合的数学思想,属于中档题.
14. 在的展开式中x5的系数是______________.
参考答案:
-77
略
15. 若等比数列{an}满足a2a4=,则a1aa5=________.
参考答案:
16. 已知,则的值是 .
参考答案:
17. 已知两直线l1:ax﹣2y+1=0,l2:x﹣ay﹣2=0.当a= 时,l1⊥l2.
参考答案:
0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】数形结合;数形结合法;直线与圆.
【分析】由垂直关系可得a的方程,解方程可得.
【解答】解:∵两直线l1:ax﹣2y+1=0,l2:x﹣ay﹣2=0相互垂直,
∴a×1﹣(﹣2)(﹣a)=0,
解得a=0
故答案为:0
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1.
(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ) 若关于x的不等式f(x)﹣t>0在[﹣1,2]上有解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ) 若函数g(x)=f(x)﹣mx的两个零点分别在区间(﹣1,2)和(2,4)内,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的零点与方程根的关系;抽象函数及其应用.
【专题】计算题;规律型;转化思想;解题方法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)通过f(0)=2,求出c,利用f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1,求出a,b,得到函数的解析式.
(Ⅱ)求出函数f(x)的对称轴,然后求解fmax(x),列出关系式即可求解实数t的取值范围为(﹣∞,5).
(Ⅲ)g(x)=x2﹣(2+m)x+2,若g(x)的两个零点分别在区间(﹣1,2)和(2,4)内,利用零点存在定理列出不等式组求解即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由f(0)=2,得c=2,…
又f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1,得2ax+a+b=2x﹣1,…
故,解得:a=1,b=﹣2,…
所以f(x)=x2﹣2x+2.…
(Ⅱ)f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,对称轴为x=1∈[﹣1,2],…
又f(﹣1)=5,f(2)=2,所以fmax(x)=f(﹣1)=5. …
关于x的不等式f(x)﹣t>0在[﹣1,2]有解,则t<f(x)max=5,
所以实数t的取值范围为(﹣∞,5). …
(Ⅲ)g(x)=x2﹣(2+m)x+2,若g(x)的两个零点分别在区间(﹣1,2)和(2,4)内,
则满足…
解得:,所以实数m的取值范围为. …
【点评】本题考查二次函数的最值的求法,零点存在定理的应用,考查分析问题解决问题的能力.
19. 如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2.
(1)求证:AM∥平面BEC;
(2)求证:BC⊥平面BDE;
参考答案:
考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
专题:空间位置关系与距离.
分析:(1)取EC中点N,连接MN,BN,证明BN∥AM.说明BN?平面BEC,且AM?平面BEC,即可证明AM∥平面BEC;
(2)先证明ED⊥BC,BC⊥BD,ED∩BD=D,即可证明BC⊥平面BDE.
解答: 证明:(1)取EC中点N,M是EC的中点,连接MN,BN.
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN=CD.
由已知AB∥CD,AB=,
所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四边形ABNM为平行四边形.
所以BN∥AM.
又因为BN?平面BEC,且AM?平面BEC,
所以AM∥平面BEC.
(2)在正方形ADEF中,ED⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,得BC=.
在△BCD中,BD=BC=,
所以BD2+BC2=CD2.
所以BC⊥BD.
所以BC⊥平面BDE.
点评:本题是中档题,考查直线与平面的平行与垂直的证明方法,几何体的体积的解法,考查空间想象能力、计算能力,注意转化思想的应用,判定定理的正确应用.
20. (本小题满分12分) 已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若对于都有成立,试求的取值范围;
(Ⅲ)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
参考答案:
解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为,,所以,所以. 所以. .由解得;由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是. ……………4分
(II) ,由解得;由解得.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以当时,函数取得最小值,.
因为对于都有成立,所以即可.
则. 由解得. 所以的范围是.
(III)依题得,则.由解得;由解得.
所以函数在区间为减函数,在区间为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点,所以
解得.所以的取值范围是. ……12分
略
21. 已知函数
(1)若函数在处有极值为10,求b的值;
(2)对任意,f(x)在区间(0,2)单调增,求b的最小值;
(3)若,且过点(-2,0)能作f(x)的三条切线,求b的取值范围.
参考答案:
(1) (2) (3)
【分析】
(1)根据列方程组,解方程组求得的值.(2)依题意得对,当恒成立,构造函数,利用一次函数的单调性求得.再构造函数,根据二次函数的对称轴得,由此求得的最小值.(3)当时,,设出切点的坐标,利用导数求得切线的斜率列方程并化简,构造函数记,根据过点,能作的三条切线可知有三个零点,利用的导数求得的极大值和极小值,由此列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
【详解】解:(1),依题意:
①,②
由①②解得:,或;
经检验当时无极值点,
当时函数在处有极小值,故,
(2)对,当恒成立
记,
∴
又设,
当时,
,∴的最小值为,
(3):当时,,
设切点为,则切线斜率为,
∴,
记,
过点能作三条切线等价于有三个零点
正
负
正
增
减
增
令,即,
∴.
【点睛】本小题主要考查已知极值点求参数,考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究切线问题,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题.
22. 已知圆的极坐标方程为:.
(1)将极坐标方程化为普通方程;
(2)若点在该圆上,求的最大值和最小值.
参考答案: