云南省大理市第一中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根b,且z=a+bi，则复数z等于 ( )
A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i
参考答案：
A
略
2. 下面的程序框图能判断任意输入的整数x的奇偶性，其中判断框内的条件是（ ）
A．m=0 B．x=0 C．x=1 D．m=1
参考答案：
A
3. 如图，正方形OABC内切圆，一直线L由OA开始绕O逆时针匀速旋转，角速度为弧度/秒，经t秒后阴影面积为，则图象为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
分析】
观察图像可知，阴影部分面积一直增加，再结合阴影部分面积增加的快慢，即可得出结果.
【详解】观察图像可知，面积变化情况为：一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢；
因此，对应函数的图像变化率先增大后减小，故选C
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，根据题意能确定函数变化率即可，属于常考题型.
4. 直线的倾斜角为( )
A． B． C. D.
参考答案：
B
略
5. 在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
参考答案：
A
6. 若函数不存在极值点，下列对a值判断正确的是（ ）
A．不存在 B．存在唯一的一个 C. 恰好两个 D．存在无数多个
参考答案：
B
7. 直线经过一定点，则该定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
判断函数的奇偶性，并根据该函数在和上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.
【详解】易知函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，排除B选项；
当时，，此时，，排除C选项；
当时，，此时，，排除D选项.故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，再利用函数解析式来识别函数图象时，一般利用以下五个要素来对函数图象逐一排除：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）零点；（5）函数值符号.考查推理能力，属于中等题.
9. 直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ( )
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为
参考答案：
略
12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=PC=，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________.
参考答案：
13. 命题“”的否定是 .
参考答案：
14. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若===3，则此三角形面积为 ．
参考答案：
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知结合正弦定理可得B=C=，A=，a=3，进而可得三角形面积．
【解答】解：∵ ===3，
∴B=C=，
故A=，a=3，
∴b=c=，
故三角形面积S==，
故答案为：．
15. 直线的斜率为______________________。
参考答案：
16. 设向量，，且，则的值为 ．
参考答案：
168
∵ ，
∴设，
又∵ ，，
，
即，
解得，
∴.
故.
17. 如图，过椭圆=1（a＞b＞1）上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=1的两条切线的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意设出两切线方程，由点到直线的距离公式可得a与k，b与k的关系，代入椭圆离心率可得e与k的关系，求出函数值域得答案．
【解答】解：由题意设两条切线分别为：y=kx+b，y=﹣（x﹣a）（k≠0），
由圆心到两直线的距离均为半径得：
，，
化简得：b2=k2+1，a2=2k2+1．
∴=
=（k≠0）．
∴0＜e＜．
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线y2=4x，直线l过定点P（2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+（﹣4k2+2k﹣4）x+4k2﹣4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根
【解答】解：由题意可设直线方程为：y=k（x﹣2）+1，
代入抛物线方程整理可得k2x2+（﹣4k2+2k﹣4）x+4k2﹣4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（﹣4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2﹣4k+1）=0，整理，得2k2﹣k+1=0，无解，
综上可得，k=0；
（2）由（1）得2k2﹣k+1＞0且k≠0，∴k≠0；
（3）由（1）得2k2﹣k+1＜0，无解．
19. 已知等比数列的公比， 是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为是和的一个等比中项，
所以．由题意可得因为，所以．解得
所以．故数列的通项公式．
（Ⅱ）由于（），所以．
． ①
． ②
①-②得 ．
所以
略
20. 某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
p
x
y
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：
P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．
∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，
∴，
解得p=，q=．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，
P（ξ=1）=++=，
P（ξ=2）=+=，
∴Eξ==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
21. 为征求个人所得税修改建议，某机构对居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 (每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．
(1)求居民月收入在[3000,4000）的频率；
(2)根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？
参考答案：
略
22. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，圆被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得关于过点的直线对称？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：(1)设⊙的方程为
由题意得 ……………………………………2分
故.故⊙的方程为. ……………………4分
(2)由题设 ……………………………………6分
故,所以或.
故,实数的取值范围为 ……………………………………9分
(3)存在实数,使得关于对称.
,又或
即 ……………………………………13分
，存在实数,满足题设 ……………………16分