2022年辽宁省大连市庄河第三十六初级中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(其中 )的图象如图所示,为了得到
的图象,只需将的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
C
2. 集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
参考答案:
D
3. 对于任意的实数a、b,记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,且在x=1处取得极小值-2,函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数,其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是( )
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2,最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上为增函数
参考答案:
B
4. 已知的面积为,则的周长等于
参考答案:
5. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤
参考答案:
A
由题意得,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项性质可知,第三段重3斤,第二段加第四段重3×2=6斤.
6. 已知复数为虚数单位,则的共轭复数是
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 设全集则右图中阴影部分表示的集合为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
8. 四棱锥的底面是矩形,锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点,且四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)
则四棱锥的侧面积= ( )
A.. B.20. C.. D..
参考答案:
C
略
9. 设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点,则=( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
在△OAC中,M为AC中点,根据平行四边形法则,有,同理有,故,选D.
10. 设点是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,为的内心,若,则该椭圆的离心率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合,,若,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
12. 如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的焦点,其余四个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率为 .
参考答案:
+1
设正六边形ABCDEF的边长为1,中心为O,以AD所在直线为x轴,以O为原点,建立直角坐标系,则c=1,
在△AEF中,由余弦定理得AE2=AF2+EF2-2AF?EFcos120°=1+1-2(-)=3,
13. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
14. 已知函数f(x)=,若存在实数a,b,c,d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0,则c+d= ,a+b+c+d的取值范围是 .
参考答案:
10,(12,).
【考点】分段函数的应用.
【分析】根据图象可判断:<a<1,1<b<2,2<c<4,6<d<8,二次函数的对称轴为x=5,可得c+d=10,利用f(a)=f(b),可得ab=1,a=,从而a+b=+b∈(2,),即可求出答案
【解答】解:若存在实数a、b、c、d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0
根据图象可判断:<a<1,1<b<2,2<c<4,6<d<8,
二次函数的对称轴为x=5,∴c+d=10
∵f(a)=f(b),∴﹣4log2a=4log2b,∴ab=1,∴a=,
∴a+b=+b∈(2,),
∴a+b+c+d∈(12,).
故答案为:10,(12,).
15. 函数f(x)在上是奇函数,当时,则f(x)= ______.
参考答案:
16. 若函数,已知,则_________.
参考答案:
3
【分析】
根据分段函数性质求参数,再代入求
【详解】因为,所以,
因此
故答案为:3
【点睛】本题考查分段函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
17. 用min{a,b}表示a,b二个数中的较小者.设f(x)=min{},则f(x)的最大值为 .
参考答案:
2
【考点】函数的最值及其几何意义;对数值大小的比较.
【分析】讨论当+3≤log2x,当+3>log2x,由对数函数的单调性可得x的范围,f(x)的解析式,再由单调性求得最大值.
【解答】解:当+3≤log2x,即为3﹣log2x≤log2x,
即log2x≥3,解得x≥4,
即有f(x)=+3,当x=4时,取得最大值3﹣1=2;
当+3>log2x,解0<x<4,
即有f(x)=log2x,由f(x)递增,则f(x)<2.
综上可得f(x)的最大值为2.
故答案为:2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)设的内角 的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
参考答案:
(1),由正弦定理得--3分
即得,.---------------------------------------------------6分
(2),由正弦定理得,-------------------------8分
由余弦定理,,---------10分
解得,.-----------------------------------------12分
19. (本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,设,求数列的前n项和.
参考答案:
解(1)由题意知 ………………1分
当时,
当时,
两式相减得………………3分
整理得: ……………………4分
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列.
……………………5分
(2)
∴,……………………6分
①
②
①-②得 ………………9分
.………………………………………………………11分
…………………………………………………………………12分
20. 如图,已知四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形,平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC=AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,点M是棱ED的中点.
(1)求证:CM∥平面ABEF;
(2)求三棱锥D﹣ACF的体积.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(1)几何法:连结AE,BF,交于点O,连结OM,推导出四边形BCMO是平行四边形,由此能证明CM∥平面ABEF.
向量法:以A为原点,AF为x轴,AC为y轴,AB为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明CM∥平面ABEF.
(2)三棱锥D﹣ACF的体积VD﹣ACF=VF﹣ACD,由此能求出结果.
【解答】证明:(1)几何法:连结AE,BF,交于点O,连结OM,
∵ABEF是正方形,∴O是AE中点,
∵M是DE中点,∴OMAC,
∵ABCD是直角梯形,AB=BC=AD=1,
∴BCAC,∴BCOM,
∴四边形BCMO是平行四边形,
∴BO∥CM,
∵BO?平面ABEF,CM?平面ABEF,
∴CM∥平面ABEF.
(1)向量法:∵四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形,
平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC=AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,点M是棱ED的中点.
∴以A为原点,AF为x轴,AC为y轴,AB为z轴,建立空间直角坐标系,
D(0,2,0),E(1,0,1),M(),C(0,1,1),
=(),
平面ABEF的法向量=(0,1,0),
∵=0,CM?平面ABEF,∴CM∥平面ABEF.
解:(2)∵点F到平面ACD的距离AF=1,
S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC==1,
∴三棱锥D﹣ACF的体积:
VD﹣ACF=VF﹣ACD===.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数形结合思想、转化化归思想,是中档题.
21. 正项等比数列{an}中,已知,.
(Ⅰ)求{an}的前n项和Sn;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的Sn,设,且,求数列bn的通项公式.
参考答案:
解:(Ⅰ)设正项等比数列的公比为,则
由及得,化简得,解得或(舍去).
于是,所以,.
(Ⅱ)由已知,,所以当时,由累加法得
.
又也适合上式,所以的通项公式为,.
22. 在圆上任取一点,设点在轴上的正投影为点.当点在圆上运动时,动点满足,动点形成的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点,若是曲线上的两个动点,且满足,求的取值范围.
参考答案:
(1)解法1:由知点为线段的中点.……………………………………………1分
设点的坐标是,则点的坐标是.……………………………………………2分
因为点在圆上,
所以.…………………………………………………………………………………3分
所以曲线的方程为.…………………………………………………………………4分
解法2:设点的坐标是,点的坐标是,
由得,,.……………………………………………………………1分
因为点在圆上, 所以. ①………………………2分
把,代入方程①,得.……………………………………………3分
所以曲线的方程为.…………………………………………………………………4分
(2)解:因为,所以.…………………………………………………………5分
所以.……………………………………………………………7分
设点,则,即.………………………………………………8分
所以
.……………………………………………………………10分
因为点在曲线上,所以.………………………………………………11分
所以.……………………………………………………………………13分
所以的取值范围为.………………………………………………………………14分
略