2022-2023学年湖南省娄底市冷水江毛易镇毛易中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a、b、c，则下列不等式成立的是 （    ） A． B．   C． D． 参考答案： C 2. 以下关于排序的说法中，正确的是（    ） A．排序就是将数按从小到大的顺序排序 B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序 C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮 D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮 参考答案： C 3. 函数的最小值是（    ） A、1 B、2 C、3 D、4 参考答案： B 略 4. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（     ） A．   B．    C．   D．   参考答案： D 略 5. 已知随机变量ξ服从正态分布N（4，62），P（ξ≤5）=0.89，则P（ξ≤3）=（　　） A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.11 参考答案： D 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（4，62），可得这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4，利用正态曲线的对称性，即可得到结果． 【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，62）， ∴这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4 ∴P（ξ≤3）=P（ξ≥5）， ∵P（ξ≤5）=0.89 ∴P（ξ≥5）=1﹣0.89=0.11， ∴P（ξ≤3）=0.11 故选D． 6. 从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（    ） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 略 7. 已知菱形ABCD的两个顶点坐标：，则对角线BD所在直线方程为 A.    B.     C.   D. 参考答案： A 略 8. .如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　) A.  B.  C.  D.   参考答案： C 略 9. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　）       A．588     B．480   C．450   D．120 参考答案： B 略 10. 已知随机变量则使取得最大值的值为（     ） A    B     C     D 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下面的程序输出的结果=                  参考答案： 17 12. 已知F双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是　　　　　　． 参考答案： （1，2） 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由右顶点在以AB为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围． 解答： 解：由题意，直线AB方程为：x=﹣c，其中c=， 因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0）， ∴﹣=1，解得y0=，得|AF|=， ∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部， ∴|EF|＞|AF|，即a+c＞， 将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0， 两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2， 由于e＞1，则有1＜e＜2． 故答案为：（1，2）． 点评： 本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题 13. 已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________． 参考答案： 略 14. 直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为 参考答案： 15. 已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： （，1） 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上， 而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1， ∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点， 作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下， 易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1）， 设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x）， y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=， 解得，x=1，故kAC=﹣1； 设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x）， y′=2x+， 故2x+=， 解得，x=﹣1； 故kAB=﹣2+=﹣， 故﹣1＜﹣k＜﹣， 即＜k＜1； 故答案为（，1）． 16. 不等式的解集是____________ 参考答案： (-1,1) 略 17. 已知等比数列{an}中，a1=3,a4=81,当数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前2013项和S2013为             。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图：区域A是正方形OABC（含边界），区域B是三角形ABC（含边界）． （Ⅰ）向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率； （Ⅱ）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）落在区域B的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；模拟方法估计概率． 【分析】（Ⅰ）根据三角形和正方形的面积之比求出满足条件的概率即可；（Ⅱ）求出落在B内的可能，从而求出满足条件的概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）向区域A随机抛掷一枚黄豆， 黄豆落在区域B的概率； （Ⅱ）甲、乙两人各掷一次骰子， 占（x，y）共36种结可能． 其中落在B内的有26种可能， 即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2）， （4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1）， （5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）， 点（x，y）落在区B的概率p==． 19. 已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值． 参考答案： （1）依题意，得，， ；故椭圆的方程为 ．  ………………3分 （2）点与点关于轴对称，设，， 不妨设． 由于点在椭圆上，所以．     （*）   由已知，则，， ．     ………………7分 由于，故当时，取得最小值为． 由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．   故圆的方程为：                    ………………9分 (3) 方法一：设，则直线的方程为：， 令，得，                     ………………11分 同理：，  故      （**）            ………………13分 又点与点在椭圆上，故，， 代入（**）式，得：   ． 所以为定值．             ………………16分 20. 函数对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： 【分析】 对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣2，而|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可． 【详解】函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，x∈[0，1]， 则f′（x）＝axlna+2x﹣lna＝（ax﹣1）lna+2x． 当0＜a＜1时，显然|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣2不可能成立． 当a＞1时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0， 此时f′（x）≥0； f（x）在[0，1]上单调递增， f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna， 而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna， 由题意得，a﹣lna≤a﹣2，解得a≥e2， 故实数的取值范围为：[e2，+∞）． 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查了解决问题的能力． 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点． （Ⅰ）求证：BF∥平面AEC； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系A﹣xyz，设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），，．设平面AEC的一个法向量为，由，知，由，得，由此能够证明BF∥平面AEC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，由为平面ACD的法向量，能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz， 设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），（2分） （Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为， ∵，， ∴由， 得， 令y=﹣1，得（4分） 又， ∴，（5分） ，BF?平面AEC， ∴BF∥平面AEC．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为， 又为平面ACD的法向量，（8分） 而，（11分） 故二面角E﹣AC﹣D的余弦值为（12分） 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 22. 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x围成图形的面积．（12分） 参考答案： 略