浙江省金华市黄宅中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=的值域是( )
(A).[0,+∞) (B).(0,4] (C).[0,4) (D).(0,4)
参考答案:
C
2. 设函数R)满足,则的值是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
参考答案:
D
3. 已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底数),若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,] B.(﹣∞,]
C.(,2) D.[,)
参考答案:
A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】根据若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,得到函数f(x)在区间(0,e]上不单调,从而求得a的取值范围.
【解答】解:∵g'(x)=(1﹣x)e1﹣x,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2﹣e>0,
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
,
当时,f′(x)=0,f(x)在处取得最小值,
由题意知,f(x)在(0,e]上不单调,所以,解得,
所以对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
当且仅当a满足条件且f(e)≥1
因为f(1)=0,所以恒成立,由f(e)≥1解得
综上所述,a的取值范围是.
故选:A.
4. 执行如右图所示的程序框图,则输出的=
A.B.C. D.
参考答案:
D
5. 函数f(x)=的图象为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法.
专题:图表型;数形结合.
分析:我们看,该函数是偶函数,所以对称区间上的图象关于y轴对称,则易知结论.
解答: 解:
当x≥0时,是一条直线,所以选项都满足
当x<0时,y=3|x|=3﹣x与y=3x(x≥0)关于y轴对称.
故选C
点评:本题主要考查函数图象在作图和用图时,一定要注意关键点,关键线和分布规律.
6. 若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的
“正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于
A. B.1 C. D.
参考答案:
7. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形,正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,则此几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
分析】
根据几何体的三视图,得该几何体是正四棱锥,再由公式球体积即可.
【详解】根据几何体的三视图,得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥,
所以该几何体的体积为.
【点睛】本题主要考查几何体的体积,属于基础题型.
8. 若α∈,且,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 在复平面内,复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
10. 复数的实部记作,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则的最小值是___▲______.
参考答案:
7
12. 已知,则 .
参考答案:
13. 若要使函数在上是减函数,则实数的取值范围是_____.
参考答案:
14. 如图,已知球是棱长为的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为
参考答案:
略
15. 已知的展开式中,的系数为,则 .
参考答案:
4
16. 圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是 .
参考答案:
3
考点: 圆的一般方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 把圆的方程化为标准形式,求得半径.
解答: 解:圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为圆(x+1)2+(y﹣1)2=9,
∴圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3,
故答案为:3
点评: 本题主要考查圆的标准方程,属于基础题.
17. 已知,则=__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcosB,b≠c.
(1)证明:A=2B;
(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理和正弦函数的性质,即可证明A=2B成立;
(2)由余弦定理和正弦、余弦函数的性质,化简求值即可.
【解答】解:(1)证明:△ABC中,a=2bcosB,
由,得sinA=2sinBcosB=sin2B,
∵0<A,B<π,
∴sinA=sin2B>0,
∴0<2B<π,
∴A=2B或A+2B=π,
若A+2B=π,则B=C,b=c这与“b≠c”矛盾,
∴A+2B≠π;
∴A=2B;
(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,
∴,
由余弦定理得cosB=sinC,
∵0<B,C<π,
∴或,
①当时,则,
这与“b≠c”矛盾,∴;
②当时,由(1)得A=2B,
∴,
∴.
19. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosB+b=2a,b=6,a=4.
(1)求角C的大小;
(2)若点D在AB边上,AD=CD,求CD的长.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(1)根据正弦定理及两角和的正弦公式,求得sinB=2sinBcosC,求得cosC=,根据C的取值范围,即可求得角C的大小;
(2)由余弦定理求得c=2,设CD=x,在△ABC和△ACD中,分别应用余弦定理求得cosA=,cosA=,联立即可求得CD的长.
【解答】解:(1)由正弦定理可知: ===2R,(R为外接圆半径),
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
由2ccosB+b=2a,2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,
∴sinB=2sinBcosC,由B∈(0,π),则sinB≠0,
则cosC=,
由C∈(0,π),
则C=,
∴角C为;
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=28,则c=2,
设CD=x,则在△ABC中,cosA===,
在△ACD中,cosA==,
∴=,解得:x=,
∴CD的长.
20. (本题满分15分)
已知抛物线的准线为,焦点为F,圆M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切,过原点O作倾斜角为的直线,交于点A,交圆M于另一点B,且AO=OB=2.
(1)求圆M和抛物线C的方程;
(2)若P为抛物线C上的动点,求的最小值;
(3)过上的动点Q向圆M作切线,切点为S,T,求证:直线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标.
参考答案:
解:(1)即p=2
……………………2分
设圆M的半径为r,则
所以圆M的方程为:
……………………5分
(2)设P(x,y)(x0),则
= …………8分
所以当x=0时 有最小值为2 …………10分
(3)以点Q为圆心,QS为半径作圆Q,则ST即为圆O与圆Q的公共弦 …………11分
设Q(-1,t)则QS2=QM2—4= t2 ,
所以圆Q的方程为
从而直线QS的方程为 3x—ty—2 =0 ……………………13分
因为一定是上述方程的解,所以直线QS恒过一个定点,
且该定点坐标为 ……………………15分
21. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆C的参数方程.以O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.
参考答案:
(1);(2)
【知识点】简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化.N3
解析:(1)圆C的普通方程为,又
所以圆C的极坐标方程为 ………5分
(2)设,则由 解得 ………7分
设,则由解得 ………9分
所以 ………10分
【思路点拨】(I)利用cos2φ+sin2φ=1,即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程.(II)设为点P的极坐标,由,联立即可解得.设的极坐标,同理可解得.利用|即可得出.
22. (本题满分18分) 对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.
(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(2)设,生成函数.若不等式
在上有解,求实数的取值范围;
(3)设,取,生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数,使恒成立?如果存在,求出这个的值;如果不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)①
所以是的生成函数
② 设,即,
则,该方程组无解.所以不是的生成函数.
(2)
若不等式在上有解,
,
即
设,则,,
,故,.
(3)由题意,得,则
,解得,所以
假设存在最大的常数,使恒成立.
于是设
=
令,则,即
设在上单调递减,
,故存在最大的常数