陕西省榆林市博白县第三中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数与函数y=sin2x+acos2x的图象的对称轴相同，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；正弦函数的对称性． 【分析】先对函数进行变形求出其对称轴，再y=sin2x+acos2x用和角公式变形，求出用参数表示的对称轴，得到关于参数的方程求参数． 【解答】解： ==﹣cos（2x+）+，令2x+=kπ，得x=，k∈z 故函数的对称轴为x=，k∈z 函数y=sin2x+acos2x=sin（2x+θ），tanθ=a 令2x+θ=nπ+，可解得x=+﹣，n∈z， 故函数y=sin2x+acos2x的对称轴为x=+﹣，n∈z， 因为两函数的对称轴相同，不妨令k，n皆为0，此时有﹣=﹣ 解得θ= ∴a=tanθ=﹣． 故应选D． 【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的性质，在此类题的求参数值的过程中，可考虑特殊情况． 2. 给定数列，，且，则=                   A．1              B．-1             C．2+         D．-2+ 参考答案： A 略 3. 若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（　　） A．2B．4C．7D．8 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值． 【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示： ∵目标函数Z=2x+y， ∴ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4， 故2x+y的最大值是7， 故选：C 4. 对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（　　） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，） 参考答案： A 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围． 【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x， 由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x， ∴f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1）=， 作出函数的图象可得， 要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3， 则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x=对称， ∴x2+x3=2×=1．则x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等号取不到． 当﹣2x=时，解得x=﹣， ∴﹣＜x1＜0， ∵0＜x2x3＜， ∴﹣＜x1x2x3＜0， 即x1x2x3的取值范围是（﹣，0）， 故选：A． 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键． 5. 设集合 （　　） A． B． C． D． 参考答案： B 6. （5分）设有一个回归方程，则变量x增加一个单位时（） A． y平均增加2.5个单位 B． y平均增加3个单位 C． y平均减少2.5个单位 D． y平均减少3个单位 参考答案： C 考点： 线性回归方程． 专题： 计算题． 分析： 写出当自变量增加一个单位时对应的解析式，把所得的解析式同原来的解析式进行比较，得到y的值平均减少2.5个单位 解答： ∵回归方程，① ∴当自变量由x变为x+1时， y=3﹣2.5（x+1）② ∴②﹣①得 即当自变量增加一个单位时，y的值平均减少2.5个单位， 故选C． 点评： 本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是说明当自变量增加一个单位时，y的值平均增加多少个单位，这里是一个平均值． 7. 如图，过原点的直线AB与函数的图像交于A、B两点，过A、B分别作轴的垂线与函数的图像分别交于C、D两点，若线段BD平行于轴，则四边形ABCD的面积为 A. 1    B. C. 2      D. 参考答案： D 略 8. 函数f（x）=﹣x的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称 参考答案： C 【考点】奇偶函数图象的对称性． 【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案． 【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称 故选C． 9. 已知函数，则（  ） A．2log23－2         B．log27－1       C．2      D．log26 参考答案： B 因为，所以，故选B.   10. 设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为      ． 参考答案： 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为　　 cm3． 参考答案： 或 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为12cm，高为8cm和圆柱的底面周长为8cm，高为12cm，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形， 若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径R=cm，h=8cm， 此时圆柱的体积V=π?R2?h=cm3； 若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径R=cm，h=12cm， 此时圆柱的体积V=π?R2?h=cm3． 故答案为或． 12. 函数的图象为，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)； ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象。 参考答案： ①②③ 略 13. （16）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于          。    参考答案： 20 略 14. 若向量与平行．则y=__． 参考答案： 【分析】 由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值． 【详解】由题意，向量与平行，所以，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 15. 空间直角坐标系中两点A(0,0,1)，B(0,1,0)，则线段AB的长度为    . 参考答案： 略 16. 计算=___    ____． 参考答案： 3 略 17. 对，记，设，，函数，若方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是____________________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）某厂每月生产一种投影仪的固定成本为万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中是产品售出的数量（单位：百台）。      （1）求月销售利润（万元）关于月产量(百台)的函数解析式；      （2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？ 参考答案： 解：（1）当时，投影仪能售出百台； 当时，只能售出百台，这时成本为万元。………2分 依题意可得利润函数为                     ……………………………5分         即   。…………………………………7分      （2）显然，；……………………………………………………8分 又当时，………………10分             ∴当（百台）时有（万元）              即当月产量为475台时可获得最大利润10.78125万元。……………13分 略 19. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．    （1）若方程有两个相等的根，求的解析式；    （2）若函数的最大值不小于8，求实数的取值范围。 参考答案： 解析：f(x)=ax2＋bx＋c，则f(x)>2xax2＋(b－2)x＋c>0． 已知共解集为（1，3），， ∴f(x)=ax2＋(2－4a)x＋3a． （1）若f(x)＋6a=0有两个相等实根，故ax2－(4a－2)x＋9a=0 △=4＋16a2－16a－36a2=0，解得a=－1或(舍去正值) ∴a=－1 即f(x)=－x2＋6x－3 （2）由以上可知， ∵a<0， 20. 已知lgx = a，lgy = b，lgz = c，且有a＋b＋c = 0，求x·y·x的值． 参考答案： 解析：由lgx = a，lgy = b，lgz = c，得x = 10，y = 10，z = 10，所以 x·y·x=10=10= 10=．   21. 已知函数. （1）求函数的值域和单调减区间； （2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sinA的值. 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 （1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案. （2）通过函数计算，，再计算代入数据得到答案. 【详解】（1）∵且 ∴故所求值域为 由得： 所求减区间：； （2）∵是的三个内角，，∴ ∴又，即 又∵， ∴, 故, 故. 【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用. 22. 已知向量，，角A，B，C为△ABC的内角，其所对的边分别为a，b，c. （1）当取得最大值时，求角A的大小； （2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 参考答案： 解：（1） ，令，， 原式，当，即，时，取得最大值. （2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径） 于是 . 由，得，于是 ，， 所以的范围是.