广西壮族自治区南宁市江滨路学校2022-2023学年高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 16=( )
A. B.﹣ C.2 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】16=24,利用指数幂的运算求解.
【解答】解:16==.
故选A.
【点评】本题考查了幂的运算,属于基础题.
2. 已知全集U=R,集合,,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 函数的图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 若数列的通项公式为,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列
参考答案:
A
略
5. 由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是( )
A. B.
C.cosAcosBcos(A+B)<0 D.
参考答案:
C
【考点】GZ:三角形的形状判断.
【分析】对于A,两边平方得,可知A为钝角;对于B,,可知夹角A为钝角;对于C,cosAcosBcosC>0,从而三余弦均为正,故正确;对于D,有两解,C为60°或120°.
【解答】解:由题意,对于A,两边平方得,∴A为钝角;
对于B,,∴A为钝角;
对于C,由cosAcosBcos(A+B)<0 可得cosAcosBcosC>0,从而可知三余弦均为正,从而三角形为锐角三角形;
对于D,,C为60°或120°.
故选C.
6. (5分)在如图所示的边长为6的正方形ABCD中,点E是DC的中点,且=,那么?等于()
A. ﹣18 B. 20 C. 12 D. ﹣15
参考答案:
D
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: 运用中点向量表示形式和向量加法的三角形法则可得=﹣,再由向量的数量积的性质,向量的平方即为模的平方,及向量垂直的条件:数量积为0,计算即可得到结论.
解答: 解:在△CEF中,=+,
由于点E为DC的中点,则=,
由=,则=+=+=﹣,
即有=(﹣)?(+)=﹣+
=(﹣)×62+0=﹣15.
故选D.
点评: 本题考查平面向量的数量积的性质,考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方,考查中点向量表示形式,考查运算能力,属于中档题.
7. 若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
8. 设,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知等差数列的前n项和为等于 ( )
A.144 B.72 C.54 D.36
参考答案:
B
10. 已知tan(﹣α)=3,则等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
C
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】展开二倍角的正弦公式和余弦公式,整理后化为含有tanα的代数式,则答案可求.
【解答】解:由tan(﹣α)=3,
得tanα=﹣3,
则==
=.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=x2﹣4x+5,x∈[1,5],则该函数值域为 .
参考答案:
[1,10]
【考点】二次函数在闭区间上的最值.
【分析】根据函数f(x)的解析式,利用二次函数的性质求得函数的最值,从而求得函数的值域.
【解答】解:由于函数f(x)=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,x∈[1,5],
则当x=2时,函数取得最小值为1,当x=5时,函数取得最大值为10,
故该函数值域为[1,10],
故答案为[1,10].
12. 已知集合M{4,7,8},则这样的集合M共有
参考答案:
7个
略
13. 若方程的一根在区间上,另一根在区间上,则实数的范围 .
参考答案:
14. 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为 .
参考答案:
8π
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】圆柱的底面半径和高均为2,代入体积公式计算即可.
【解答】解:圆柱的底面半径和高均为2,∴圆柱的体积V=π×22×2=8π.
故答案为:8π.
【点评】本题考查了圆柱的定义与结构特征,属于基础题.
15. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= 。
参考答案:
3
16. (5分)已知函数f(x)=﹣x2﹣2x,g(x)=若方程g[f(x)]﹣a=0的实数根的个数有4个,则a的取值范围()
A. B. [1,+∞) C. (1,+∞) D.
参考答案:
A
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 由题意化简f(x)=﹣x2﹣2x=﹣(x+1)2+1≤1;从而讨论f(x)在分段函数的哪一段,再分段讨论各自的解的个数,最后综合即可.
解答: f(x)=﹣x2﹣2x=﹣(x+1)2+1≤1;
当x≤0时,g(x)≤1;
故当a≤1时,
f(x)+1=a;
f(x)=a﹣1≤0;
故f(x)=a﹣1有两个解;
②当0<﹣(x+1)2+1≤1,即0<x<2时;
f(x)+≥1;
(当且仅当f(x)=时,等号成立)
且当f(x)∈(0,]时,f(x)+∈[1,+∞);
当f(x)∈[,1]时,f(x)+∈[1,];
故当a=1时,f(x)=,有两个解;
当1<a<时,f(x)=b∈(0,)或f(x)=c∈(,1);
分别有两个解,共4个解;
当a=时,f(x)=b∈(0,)或f(x)=1;
故有三个解;
综上所述,当1≤a<时,方程g[f(x)]﹣a=0的实数根的个数有4个;
故选A.
点评: 本题考查了分段函数与复合函数的根的个数的判断,分类比较困难,属于中档题.
17. 不等式的解集为_________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=+lg(2﹣x)的定义域为A,g(x)=﹣x2+1的值域为B.设全集U=R.
(1)求集合A,B;
(2)求A∩(?UB).
(3)已知C={x|a≤x≤a+2},若B∩C=C,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】(1)求出f(x)的定义域确定出A,求出g(x)的值域确定出B即可;
(2)根据全集R,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可;
(3)根据B∩C=C?C?B,即可求出a的取值范围.
【解答】解:(1)∵,解得﹣1≤x<2,
∴A=[﹣1,2),
∵g(x)=﹣x2+1的值域为B,
∴B=(﹣∞,1]
(2)CUB=(1,+∞),
∴A∩(?UB)=(1,2),
(3)∵B∩C=C?C?B,
∴a+2≤1,
∴a∈(﹣∞,﹣1].
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,函数的定义域与值域参数的取值范围,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
19. 【本题满分14分】
已知函数f (x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.
(1)求f (x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,(0<α<β≤),求f (β)的值.
参考答案:
解:(1)f (x)=sin(x+)+cos(x-)=sin(x-)-cos(x+)=2sin(x-)∴T=2π,f (x)min=-2
(2)cos(β-α)=cosα·cosβ+sinα·sinβ=,cos(β+α)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=-
∴cosα·cosβ=0 ∵0<α<β≤ ∴cosβ=0∴β=
∴f (β)=2sin(-)=.
20. 经市场调查,新街口某新开业的商场在过去一个月内(以30天计),顾客人数(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足(),人均消费(元)与时间t(天)的函数关系近似满足
(1)求该商场的日收益(千元)与时间t(天)(,)的函数关系式;
(2)求该商场日收益的最小值(千元).
参考答案:
解:(1)
(2)时,单调递增,最小值在处取到,;
时,单调递减,最小值在时取到,
单调递减,最小值在时取到,则最小值为,
由,可得最小值为.
答:该商场日收益的最小值为千元.
21. 已知点在函数的图象上,数列的前项和为,数列的前项和为,且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式.
(2)设,数列满足,.求数列的前项和.
(3)在(2)的条件下,设是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数,,恒有成立,且(为常数,),试判断数列是否为等差数列,并说明理由.
参考答案:
见解析
(1)依题意得,故.
又,即,
所以,当时,.
又也适合上式,
故.
(2)因为,
,因此.
由于,所以是首项为,公比为的等比数列.
所以,所以.
所以.
(3)方法一:
,
则.
所以.
因为已知为常数,则数列是等差数列.
方法二:
因为成立,且,
所以,
,
,
,
所以.
所以数列是等差数列.
22. (本小题共12分)函数的一段图象如右图所示:
(1)求函数f(x)的解析式及其最小正周期;
(2)求使函数取得最大值的自变量x的集合及最大值;
(3)求函数f(x)在的单调递增区间.
参考答案:
解:
(1)由图象知,,则,
由,可得,结合图象知时,函数取得最大值2,
则,解得.
所以,.
(2)当时,即,。
(3)当时,单调递增,
即时,单调递增,
因为,所以或,
故单调递增区间为。