河北省石家庄市台头中学高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=( )
A.a=3 B.a=﹣1 C.a=4 D.a=3或a=﹣1
参考答案:
A
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】求出f′(x)=,由f′(1)=0,求得a.
【解答】解:f′(x)=,
∵函数f(x)=在x=1处取得极值,∴,解得a=3.
故选:A.
2. 设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 已知条件,条件,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
4. “m=﹣1”是“直线mx+(2m﹣1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】计算题.
【分析】利用两条直线垂直的充要条件化简“直线mx+(2m﹣1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”,然后判断前者成立能推出后者成立,后者成立推不出前者成立,利用充要条件的有关定义得到结论.
【解答】解:直线mx+(2m﹣1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充要条件为:
3m+(2m﹣1)m=0
解得m=0或m=﹣1;
若m=﹣1成立则有m=0或m=﹣1一定成立;
反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立;
所以m=﹣1是直线mx+(2m﹣1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件.
故选B.
【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,然后两边互推一下,利用充要条件的有关定义进行判断,属于基础题.
5. 设函数在(0,+)内有定义,对于给定的正数K,定义函数,取函数,恒有,则
A.K的最大值为 B.K的最小值为 C.K的最大值为2 D.K的最小值为2
参考答案:
B
略
6. 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( )
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
参考答案:
解析:除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况,100元人民币的取法有3种情况,再减去全不取的1种情况,所以共有种.
7. 在空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2). 画该四面体三视图中的正视图时,以xOz平面为投影面,则得到正视图可以为
参考答案:
A
8. 为非零实数,且,则下列命题成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 在平面直角坐标系中,矩形OABC,将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为,则的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 已知向量,则等于( )
A. B. C.25 D.5
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数……循环下去,如:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…,则第104个括号内各数字之和为_______。
参考答案:
2072
略
12. 已知集合P{a,b},Q={﹣1,0,1},则从集合P到集合Q的映射共有 种.
参考答案:
9
【考点】映射.
【分析】运用分步计数原理求解.
【解答】解:集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式(﹣1,0,1三选一),
集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式(﹣1,0,1三选一),
根据“分步计数原理(乘法原理)”,
集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9,
故答案为9.
【点评】本题主要考查了映射的概念,以及两集合间构成映射个数的确定,可用列举法,也可用乘法计数原理,属于基础题.
13. 经过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,
可以得到椭圆类似的性质为_______ __.
参考答案:
14. 若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,点N坐标为(3,3),则线段MN长度的最小值是 ▲ .
参考答案:
5 -
15. 在平行四边形ABCD中,AD=,AB=2,若 =,则 ?= .
参考答案:
【分析】用表示出,再计算.
【解答】解:∵,∴F是BC的中点,
∴, ==,
∴=()()=﹣=4﹣=.
故答案为:.
16. 已知p:,q:且, 则p是q的 条件.(在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选一个)
参考答案:
必要不充分
17. F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M,N分别为其短釉的两个端点,且四边形的周长为4设过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AB|=,则|AF2|?|BF2|的最大值为____________。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 观察数列:
①;②正整数依次被4除所得余数构成的数列;
③
(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义:对于数列,如果________________________,对于一切正整数都满足___________________________成立,则称数列是以为周期的周期数列;
(2)若数列满足为的前项和,且,证明为周期数列,并求;
(3)若数列的首项,且,判断数列是否为周期数列,不用证明.
参考答案:
解析:(1) 存在正整数;
(2)证明:由
所以数列是以为周期的周期数列
由
于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又,
所以,
(3)当=0时,是周期数列,因为此时为常数列,所以对任意给定的正整数及任意正整数,都有,符合周期数列的定义.
当时,是递增数列,不是周期数列.
19. 一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图所示,M、N分别为A1B、B1C1的中点.
(1)求证:MN//平面ACC1A1;
(2)求证:MN^平面A1BC.
参考答案:
证明:由意可得:这个几何体是直三棱柱,
且AC^BC,AC=BC=CC1
(1)由直三棱柱的性质可得:AA1^A1B1
四边形ABCD为矩形,则M为AB1的中点,N为B1C1
的中点,在DAB1C中,由中位线性质可得:
MN//AC1,又AC1ì平面ACC1A1,MN?平面ACC1A1
\ MN//平面ACC1A1
(2)因为:CC1^平面ABC,BCì平面ABC,\ CC1^ BC,
又BC^AC,AC?CC1=C,所以,BC^平面ACC1A1,AC1ì平面ACC1A1
\ BC^AC1,在正方形ACC1A1中,AC1^A1C,BC?A1C=C,\ AC1^平面A1BC,
又AC1//MN,\MN^平面A1BC
略
20. 已知椭圆+y2=1,直线m与椭圆交于A、B两点,线段AB的中点为M(1,),求直线m的方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设出A,B的坐标,代入椭圆方程,利用“点差法”求得AB所在直线的斜率,再由直线方程的点斜式得答案.
【解答】解:由题:,设直线m与椭圆的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
代入椭圆方程的得:.
两式相减得:,
另由中点坐标公式:x1+x2=2,y1+y2=1,
则:
所以直线m方程为:y﹣=﹣(x﹣1),即x+2y﹣2=0
【点评】本题考查椭圆的简单性质,训练了“中点弦”问题的求解方法,是中档题.
21. (本小题满分13分)
参考答案:
22. 已知a,b,c均为实数,且a=x2﹣2y+,b=y2﹣2z+,c=z2﹣2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.
参考答案:
【考点】R9:反证法与放缩法.
【分析】用反证法,假设a,b,c都小于或等于0,推出a+b+c的值大于0,出现矛盾,从而得到假设不正确,命题得证.
【解答】解:反证法:假设a,b,c都小于或等于0,则有a+b+c=(x﹣1)2+(y﹣1)2+(z﹣1)2+π﹣3≤0,
而该式显然大于0,矛盾,故假设不正确,故a,b,c中至少有一个大于0.