河北省秦皇岛市山桥中学高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象一部分如右图所示,则、的值分别是( )
(A)1, (B)1, (C)2, (D)2,
参考答案:
C
2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.(0,1) C.() D.()
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】将抛物线化简得x2=y,解出,结合抛物线标准方程的形式,即得所求焦点坐标.
【解答】解:∵抛物线的方程为y=4x2,即x2=y
∴2p=,解得
因此抛物线y=4x2的焦点坐标是(0,).
故选:D
3. 对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21 B.a=0或 a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21
参考答案:
A
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】由于函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值,可得f′(x)≥0恒成立,求解出一元二次不等式即可得到a的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R),
∴f′(x)=3x2+2ax+7a,
∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值,且f′(x)的图象开口向上,
∴f′(x)≥0对x∈R恒成立,
∴△=4a2﹣84a≤0,
解得0≤a≤21,
∴a的取值范围是0≤a≤21.
故选:A.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值,解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根,而导函数对应方程的根不一定是极值点.考查了转化化归的数学思想方法.属于中档题.
4. 已知两条直线l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且l1∥l2,则满足条件a的值为( )
A. B. C.﹣2 D.2
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】直线与圆.
【分析】根据两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得a的值.
【解答】解:根据两条直线l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且l1∥l2,可得,求得 a=﹣2,
故选C.
【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,属于基础题.
5. 如图是成品加工流程图,从图中可以看出,即使是一件不合格产品,也必须经过多少道工序( )
A.6 B.5或7 C.5 D.5或6或7
参考答案:
B
【考点】EH:绘制简单实际问题的流程图.
【分析】根据工序流程图,写出一件不合格产品的工序流程即可.
【解答】解:由某产品加工为成品的流程图看出,
即使是一件不合格产品,
“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、定为废品”五道程序;
或是“零件到达后经过粗加工、检验、粗加工、检验、定为废品”五道程序;
或是“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、粗加工、检验、定为废品”七道程序.
所以,由工序流程图知须经过5或7道工序.
故选:B.
【点评】本题考查工序流程图的应用问题,解题时应认真审题,做到不漏不重,是基础题.
6. 在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
参考答案:
D
【考点】三角形的形状判断.
【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac,再由b2=ac,得a2+c2﹣ac=ac,得a=c,得A=B=C=60°,得△ABC的形状是等边三角形
【解答】解:由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac,又b2=ac,
∴a2+c2﹣ac=ac,∴(a﹣c)2=0,∴a=c,∴A=B=C=60°,
∴△ABC的形状是等边三角形.
故选D.
7. 已知函数()满足且时,,函数,则函数在区间内零点的个数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知双曲线和椭圆 (a>0, m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a、b、m为边长的三角形是 ( )
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
参考答案:
B
略
9. 已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=( )
A.2 B.8 C.18 D.20
.
参考答案:
C
D(3X+2)=9D(X)=18
10. 右图是函数的部分图像,则函数的零点所在的区间是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的渐近线方程是 ▲ .
参考答案:
【分析】
直接根据双曲线的方程,令方程的右边等于0求出渐近线的方程.
【详解】已知双曲线
令:=0
即得到渐近线方程为:y=±2x
故答案为:y=±2x
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法,属于基础题.
12. 若半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是 .
参考答案:
13. 设是原点,向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______
参考答案:
5-5i
14. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律,拼成若干个图案:
则第4个图案中有白色地面砖____________块,第n个图案中有白色地面砖__________块.
参考答案:
解:第(1)个图中,黑:1 白:6; 第(2)个图中,黑:2 白:10;
第(3)个图中,黑:3 白:14 ; 第(4)个图中,黑:4 白:18;
第(n)个图中,黑:n 白: 6+(n-1)4=4n+2块.
15. (4分)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为 _________ m3.
参考答案:
4
16. 如图,△是⊙的内接三角形,是⊙的切线,交于点,
交⊙于点.若,,,则
参考答案:
8
略
17. .在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数在处取得极值.
(1)求,并求函数在点处的切线方程;
(2) 求函数的单调区间.
参考答案:
(1)因为,所以. 1分
因为在 处取得极值,所以,即,
解得所以. 3分
因为,,,
所以函数在点处的切线方程为. 6分
(2)由(1) ,
令,即,解得,
所以的单调递增区间为. 9分
令,即,解得或,
所以的单调递减区间为,.
综上,的单调递减区间为和,单调递增区间为. 12分
19. 设命题p:“若,则有实根”.
(1)试写出命题p的逆否命题;
(2)判断命题p的逆否命题的真假,并写出判断过程.
参考答案:
(1)p的逆否命题:若无实根,则;(2)命题p的逆否命题的为真命题,判断过程,详见解析.
试题分析:(1)掌握四种命题的构成关系就不难写出的逆否命题;原结论否定作条件,原条件否定作结论;(2)从条件出发能推出结论,则为真命题,否则为假命题,本题从条件能推出结论,故为真命题.
试题解析:(1)的逆否命题:若无实根,则. 6分
(2)∵无实根,∴9分∴10分
∴“若无实根,则”为真命题. 12分
考点:四种命题及命题真假判断.
20. 已知数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:Sn2=3n2an+Sn﹣12,an≠0,n≥2,n∈N*.
(1)若数列{an}是等差数列,求a的值;
(2)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是递增数列.
参考答案:
【考点】等差关系的确定;数列的函数特性;数列的应用.
【分析】(1)分别令n=2,n=3,及a1=a,结合已知可由a表示a2,a3,结合等差数列的性质可求a,
(2)由=3n2an+,得﹣=3n2an,两式相减整理可得所以Sn+Sn﹣1=3n2,进而有Sn+1+Sn=3(n+1)2,两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列,结合数列的单调性可求a
【解答】解:(1)在=3n2an+中分别令n=2,n=3,及a1=a
得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,
因为an≠0,所以a2=12﹣2a,a3=3+2a. …
因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,
即2(12﹣2a)=a+3+2a,解得a=3.…
经检验a=3时,an=3n,Sn=,Sn﹣1=
满足=3n2an+.
(2)由=3n2an+,得﹣=3n2an,
即(Sn+Sn﹣1)(Sn﹣Sn﹣1)=3n2an,
即(Sn+Sn﹣1)an=3n2an,因为an≠0,
所以Sn+Sn﹣1=3n2,(n≥2),①…
所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,②
②﹣①,得an+1+an=6n+3,(n≥2).③…
所以an+2+an+1=6n+9,④
④﹣③,得an+2﹣an=6,(n≥2)
即数列a2,a4,a6,…,及数列a3,a5,a7,…都是公差为6的等差数列,…
因为a2=12﹣2a,a3=3+2a.
∴an= …
要使数列{an}是递增数列,须有a1<a2,且当n为大于或等于3的奇数时,an<an+1,
且当n为偶数时,an<an+1,即a<12﹣2a,
3n+2a﹣6<3(n+1)﹣2a+6(n为大于或等于3的奇数),
3n﹣2a+6<3(n+1)+2a﹣6(n为偶数),
解得<a<.
所以M=(,),当a∈M时,数列{an}是递增数列. …
21. (本小题满分14分)已知函数,(x≥1).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并说明理由;
(2)若恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)en-2,(n∈N*).
参考答案:
解:(1),∵x≥1,∴lnx≥0,故f(x)在[1,+∞)递减.
……3分,
记, …… 5分
∴ ,
再令h(x)=x-lnx,则,∵x≥1,则h′(x)≥0,
∴h(x)在[1,+∞)上递增, ∴[h(x)]min=g(1)=2,从而则g′(x)>0,
故g(x) 在[1,+∞)上也单调递增,∴[g(x)]min=g(1)=2,∴k≤2. ……8分
(3)方法1 由(2)知:恒成立,即.
令x=n(n+1),则, ……10分
∴,,,
……12分
,叠加得,
,
∴1×22×32×…×n2(n+1)>en-2,
故[(n+1)!]2>(n+1)en-2,(n∈N*).