河北省衡水市北郭村农业中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,,.若,则实数m的值为( )
A. B. C. -3 D.
参考答案:
C
【分析】
根据向量共线坐标表示得方程,解得结果.
【详解】因为,所以,选C.
【点睛】本题考查向量共线,考查基本分析与求解能力,属基础题.
2. 定义在R上的奇函数f(x),满足f(1)=0,且在(0,+∞)上单调递增,则xf(x)>0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>1} B.{x|0<x<1或﹣1<x<0}
C.{x|0<x<1或x<﹣1} D.{x|﹣1<x<0或x>1}
参考答案:
A
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:先确定函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.
解答:解:∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,
∴不等式xf(x)>0等价于或
∴x>1或﹣1≤x<﹣1
∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1或x<﹣1}.
故选A.
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性,经常考查,属于基础题
3. 在数列{an}中,已知,,,则{an}一定( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 不是等差数列 D. 不是等比数列
参考答案:
C
【分析】
依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。
【详解】因为,,,所以一定不是等差数列,故选C。
【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。
4. 函数的图像的大致形状是( )
参考答案:
D
略
5. 圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积( )
A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍
C.不变 D.缩小到原来的
参考答案:
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题.
【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘,假设原来圆锥的底面半径为r,原来的高为h,求出现在的体积,一步得出答案.
【解答】解:V现=π()2×2h=πr2h=V原,圆锥的体积缩小到原来的一半.
故选A.
【点评】此题考查计算圆锥的体积,关键是已知底面半径和高,直接用公式计算.
6. 设集合U={0,1,2,3,4,5},A={1,2},,则CU(A∪B)( ).
A. {0,1,2,3} B. {5} C. {1,2,4} D. {0,4,5}
参考答案:
D
分析:求出集合B中不等式的解集,找出解集中的整数解确定出B,求出A与B的并集,找出全集中不属于并集的元素,即可求出所求.
详解:∵集合,
∴,
∴.
故选.
点睛:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
7. 给出下列结论:①=±2;②y=x2+1,x∈[﹣1,2],y的值域是[2,5];③幂函数图象一定不过第四象限;④函数f(x)=ax+1﹣2(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,﹣1);⑤若lna<1成立,则a的取值范围是(﹣∞,e).其中正确的序号是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.③④⑤
参考答案:
B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】由根式的化简判断①,根据二次函数的性质判断②,由幂函数的性质判断③,由a0=1和指数函数的判断④,由对数函数的性质判断⑤.
【解答】解::①=|﹣2|=2,①不正确;
②y=x2+1,x∈[﹣1,2],y的值域是[1,5],②不正确;
③由幂函数知:幂函数图象一定不过第四象限,③正确;
④令x+1=0得x=﹣1,且y=﹣1,即f(x)=ax+1﹣2的图象过定点(﹣1,﹣1),④正确;
⑤由lna<1得0<a<e,即a的取值范围是(0,e),⑤不正确,
正确的命题是③④,
故选:B.
8. 2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.
凸多面体
顶点数
棱数
面数
三棱柱
6
9
5
四棱柱
8
12
6
五棱锥
6
10
6
六棱锥
7
12
7
根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点,8个面的扭曲棱柱的棱数是( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
参考答案:
C
【分析】
分析顶点数, 棱数与面数的规律,根据规律求解.
【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为:
棱数=顶点数+面数-2,
所以,12个顶点,8个面的扭曲棱柱的棱数=12+8-2=18.
故选C.
【点睛】本题考查逻辑推理,从特殊到一般总结出规律.
9. 给出下列关系:①; ②;③ ;④. 其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 w.w.
参考答案:
C
10. 设是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量,且,则的面积等于 ( )
A、15 B、10 C、7.5 D、5
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在棱长为的正方体中, 分别是的中点,则异面直线与所成角等于
参考答案:
12. = 。
参考答案:
略
13. 已知函数图象上的一个最高点与相邻一个最低点之间的距离是5,则 .
参考答案:
略
14. 已知为常数,若不等式的解集为,则不等式 的解集为
参考答案:
试题分析: 把要求解的不等式变形,分子分母同时除以后把看做一个整体,由不等式解集得到范围,进一步求出的范围。
考点: 其他不等式的解法。
15. 给出下面命题:①函数是奇函数;②存在实数,使得;③若是第一象限角,且,则;④是函数的一条对称轴;⑤在区间上的最小值是-2,最大值是,其中正确的命题的序号是 .
参考答案:
16. 设动直线与函数和的图象分别交于、 两点,则的最大值为____.
参考答案:
3
略
17. 在△ABC中,若_________。
参考答案:
解析:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算
(1) (2)
(3)解不等式:
参考答案:
(1)原式=
(2)原式=
(3)原式可化为:
1. ;
2. ;
3.
略
19. 已知圆C:x2+y2﹣8y+12=0,直线l经过点D(﹣2,0),且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程;
(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.
参考答案:
【考点】J9:直线与圆的位置关系;J2:圆的一般方程.
【分析】(1)求出圆的圆心,然后求以线段CD为直径的圆E的圆心与半径,即可求出方程;
(2)通过直线l与圆C相离,得到圆心到直线的距离大于半径列出关系式,求k的取值范围.
【解答】解:(1)将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+(y﹣4)2=4,
则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
所以CD的中点E(﹣1,2),|CD|=,
∴r=,
故所求圆E的方程为(x+1)2+(y﹣2)2=5.
(2)直线l的方程为y﹣0=k(x+2),
即kx﹣y+2k=0.
若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离,解得k<.
20. (本小题满分12分) 某品牌茶壶的原售价为80元/个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个;… …,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/个,但茶壶的售价不得低于44元/个(即购买这种茶壶超过18个时每个售价44元);乙店一律按原价的75℅销售。现某茶社要购买这种茶壶个,如果全部在甲店购买,则所需金额为元;如果全部在乙店购买,则所需金额为元.ks5u
⑴分别求出、与之间的函数关系式;
⑵该茶社如果购买茶壶数不超过18个,去哪家茶具店购买茶壶花费较少?
参考答案:
⑴对甲茶具店而言:当茶社购买这种茶壶个数时,每个售价为元,
当茶社购买这种茶壶时,每个售价为44元,则与之间的函数关系式为:
………………………………3分
(无定义域或定义域不正确扣1分)
对乙茶具店而言:茶社购买这种茶壶个时,每个售价为元[高考资源网KS则与之间的函数关系式为:
…………………………………………………………6分
(无定义域或定义域不正确扣1分)
⑵当时,
令 ……………………………………8分
…………………………………………………………………9分
所以,茶社购买这种茶壶的数量小于10个时,到乙茶具店购买茶壶花费较少,茶社购买这种茶壶的数量等于10个时,到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多,茶社购买这种茶壶的数量大于10个不超过18个时,到甲茶具店购买茶壶花费较少…………………12分
21. (本小题满分12分)
已知为第三象限角且
(1)求
(2)求的值。
参考答案:
(1)
(2)
略
22. 已知函数.(Ⅰ)判断的奇偶性;
(Ⅱ)判断的单调性,并加以证明;(Ⅲ)写出的值域.
参考答案:
解:(Ⅰ)
所以,则是奇函数. (3分)
(Ⅱ) 在R上是增函数,(1分)
证明如下:任意取,使得:
则
所以,则在R上是增函数. (4分)
(Ⅲ),则的值域为 (3分)