天津赤土中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数是( )
A. 奇函数 B. 非奇非偶函数
C. 偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数
参考答案:
C
【分析】
利用诱导公式将函数的解析式化简,然后利用定义判断出函数的奇偶性.
【详解】由诱导公式得,该函数的定义域为,关于原点对称,
且,
因此,函数为偶函数,故选:C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,解题时要将函数解析式进行简化,然后利用奇偶性的定义进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
2. 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知木工做一张甲、乙型桌子分别需要小时和小时,漆工油漆一张甲、乙型桌子分别需要小时和小时,又木工、漆工每天工作分别不得超过小时和小时,而家具厂制造一张甲、乙型桌子分别获利润0元和0元。试问家具厂可获得的最大利润是( )元。
A.130 B.110 C.150 D.120
参考答案:
A
略
3. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】BB:众数、中位数、平均数;BA:茎叶图.
【分析】由已知的茎叶图,我们可以求出甲乙两人的平均成绩,然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率,进而根据对立事件减法公式得到答案.
【解答】解:由已知中的茎叶图可得
甲的5次综合测评中的成绩分别为88,89,90,91,92,
则甲的平均成绩==90
设污损数字为X,
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83,83,87,99,90+X
则乙的平均成绩==88.4+
当X=8或9时,≤
即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=
故选C
4. 如图,已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形,那么的面积是( )
A. B. C. 1 D.
参考答案:
D
【分析】
根据斜二测画法的基本原理,将平面直观图与还原为原几何图形,利用三角形面积公式可得结果.
【详解】平面直观图与其原图形如图,
直观图是直角边长为的等腰直角三角形,
还原回原图形后,边还原为长度不变,仍为,
直观图中的在原图形中还原为长度,且长度为,
所以原图形的面积为,故选D.
【点睛】本题主要考查直观图还原几何图形,属于简单题. 利用斜二测画法作直观图,主要注意两点:一是与轴平行的线段仍然与与轴平行且相等;二是与轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.
5. 已知数列为等差数列,且,则等于( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
6. 已知角是第二象限角,角的终边经过点,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 如图所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用向量加法的三角形法则可得,化简后可得正确选项.
【详解】,故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算,属于基础题.
8. 已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,f(x)=x+的零点分别为,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
将函数的零点问题转化为对应函数图象交点横坐标的问题,利用数形结合思想求解.
【详解】解:在同一直角坐标系中,作出图象,如图
观察图象可知,函数的零点分别为,满足
故选:B.
9. 已知=(2,m),=(﹣1,m),若(2﹣)⊥,则||=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
B
【考点】向量的模.
【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】化简可得2﹣=(5,m),故(5,m)(﹣1,m)=0,从而求得m2=5,从而求||.
【解答】解:2﹣=2(2,m)﹣(﹣1,m)=(5,m),
∵(2﹣)⊥,
∴(5,m)(﹣1,m)=0,
即5﹣m2=0,即m2=5,
故||==3;
故选:B.
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积的应用,同时考查了向量的模的求法.
10. 下列函数为奇函数的是( )
A.y=x+1 B.y=ex C.y=x2+x D.y=x3
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合,则 .
参考答案:
12. 已知函数定义域为R,总有,
若,则实数的取值范围是______.
参考答案:
略
13. (5分)若f(x)在上为奇函数,且f(3)=﹣2,则f(﹣3)+f(0)= .
参考答案:
2
考点: 奇函数.
专题: 计算题.
分析: 根据f(x)在上为奇函数,且f(3)=﹣2,求出f(﹣3)、f(0)的值,即可求得结果.
解答: ∵f(x)在上为奇函数,
∴f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x)
∵f(3)=﹣2,
∴f(﹣3)=2,
f(﹣3)+f(0)=2
故答案为:2.
点评: 考查奇函数的定义,注意奇函数在原点有定义时,有f(0)=0,反之不成立,考查分析解决问题的能力和运算 能力,属基础题.
14. 给出下列五个命题:
①函数的一条对称轴是x=;
②函数y=tanx的图象关于点(,0)对称;
③正弦函数在第一象限为增函数;
④若,则x1﹣x2=kπ,其中k∈Z;
⑤函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(1,3).
以上五个命题中正确的有 (填写所有正确命题的序号)
参考答案:
①②
【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象;正切函数的图象.
【分析】①计算2sin(2×﹣)是否为最值±2进行判断;②根据正切函数的性质判断;③根据正弦函数的图象判断;④由得2x1﹣和2x2﹣关于对称轴对称或相差周期的整数倍;⑤作出函数图象,借助图象判断.
【解答】解:当x=时,sin(2x﹣)=sin=1,∴①正确;
当x=时,tanx无意义,∴②正确;
当x>0时,y=sinx的图象为“波浪形“曲线,故③错误;
若,则2x1﹣=2x2﹣+2kπ或2x1﹣+(2x2﹣)=2()=π+2kπ,
∴x1﹣x2=kπ或x1+x2=+kπ,k∈Z.故④错误.
作出f(x)=sinx+2|sinx|在[0,2π]上的函数图象,如图所示:
则f(x)在[0,π]上过原点得切线为y=3x,设f(x)在[π,2π]上过原点得切线为y=k1x,
有图象可知当k1<k<3时,直线y=kx与f(x)有2个不同交点,
∵y=sinx在[0,π]上过原点得切线为y=x,∴k1<1,故⑤不正确.
故答案为:①②.
15. 已知函数在(0,2)内的值域是(1),则的取值范围是
参考答案:
(0,1)
16. 已知函数f(x)=x2+ax+a-1的两个零点一个大于2,一个小于2,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
17. 函数的定义域为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 三棱柱中,侧棱与底面垂直,,, 分别是,的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面.
参考答案:
(Ⅰ)证明:连接BC1,AC1,∵M,N是AB,A1C的中点∴MN∥BC1.
又∵MN不属于平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1.(4分)
(Ⅱ)解:∵三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,
∴四边形BCC1B1是正方形.
∴BC1⊥B1C.∴MN⊥B1C.
连接A1M,CM,△AMA1≌△BMC.
∴A1M=CM,又N是A1C的中点,∴MN⊥A1C.
∵B1C与A1C相交于点C,
∴MN⊥平面A1B1C.(12分)
略
19. 已知全集U=R,A={x|2x﹣4≥0},B={x|2≤2x<16},C={0,1,2}.
(1)求?U(A∩B);
(2)如果集合M=(A∪B)∩C,写出M的所有真子集.
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】(1)根据全集U=R,A={x|2x﹣4≥0},求出集合A,再求出集合B,根据交集的定义求出A∩B,根据补集的定义求出C∪(A∩B);
(2)根据并集的定义求出A∪B,再根据交集的定义求出M,再由子集的性质,写出M的所有真子集.
【解答】(1)∵全集U=R,A={x|2x﹣4≥0}={x|x≥2},B={x|1≤x<4},
∴A∩B={x|2≤x<4},∵全集U=R,
∴C∪(A∩B)={x|x<2或x≥4};
(2)∵集合M=(A∪B)∩C,C={0,1,2},
∴A∪B={x|x≥1},∴M=(A∪B)∩C={1,2},
∴M的真子集为:?,{1},{2};
20. 已知数列{an}满足,
(1)若{an}为不恒カ0的等差数列,求a;
(2)若,证明:.
参考答案:
(1)1;(2)证明见解析.
【分析】
(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可;(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用,并项相加可以得到.
【详解】(1)数列为不恒为0的等差数列,
可设,
,
,
,
,
,
整理得:,
,
计算得出: 或 (舍),
,
;
(2)易知,
,
,
两端同时除以,得:,
,
,
,
叠加得:,
又
,
又,
,
,
.
【点睛】本题主要考查根据递推关系研究数列的性质,考查了裂项相消求和以及放缩法证明不等式,属于难题, 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
21. 已知函数.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)证明:函数f(x)在内是增函数.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)利用函数奇偶性的定义去判断.(2)利用函数单调性的定义去证明.
【解答】解:(1)函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞)
∵,
∴f(x)是奇函数.
(2)设,且x1<x2
则=,
∵,
∴x1﹣x2<0,x1x2﹣2>0,x1x2>0
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
故f(x)在内是增函数.
22. 已知,且A为锐角
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算;GL:三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)利用数量积运算性质,化简已知条件,通过A为锐角.解得A.
(2)利用倍角公式化简函数f(x)=cos2x+4sinAsinx的表达式.利用正弦函数的有界性求解即可.
【解答】解:(1)∵