湖北省武汉市马房山中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 对任意正实数x,y,下列不等式恒成立的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由已知,,选C
3. 已知是奇函数,是偶函数,且,,则等于 ( )
A、4 B、3 C、2 D、1
参考答案:
B
4. 设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则N∩(?UM)等于( )
A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5}
参考答案:
C
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据补集与交集的定义,求出?UM与N∩(?UM)即可.
【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},
∴?UM={2,3,5},
∴则N∩(?UM)={3,5}.
故选:C.
5. 定义实数集R的子集M的特征函数为.若A,B?R,对任意x∈R,有如下判断:
①若A?B,则fA(x)≤fB(x); ②fA∩B(x)=fA(x)?fB(x);
③; ④fA∪B(x)=fA(x)+fB(x).
其中正确的是 .(填上所有满足条件的序号)
参考答案:
①②③
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑.
【分析】根据题中特征函数的定义,利用集合的交集、并集和补集运算法则,对各项中的运算加以验证,可得①②③都可以证明它们的正确性,而④可通过反例说明它不正确.由此得到本题答案.
【解答】解:由题意,可得
对于A,因为A?B,可得x∈A则x∈B,
∵fA(x)=,fB(x)=,
而CRA中可能有B的元素,但CRB中不可能有A的元素
∴fA(x)≤fB(x),
即对于任意x∈R,都有fA(x)≤fB(x)故①正确
对于C,fA∩B(x)==?=fA(x)?fB(x),
故②正确
对于③,=,结合fA(x)的表达式,可得=1﹣fA(x),故③正确
对于④,fA∪B(x)=
当某个元素x在A中但不在B中,由于它在A∪B中,故fA∪B(x)=1,
而fA(x)=1且fB(x)=0,可得fA∪B(x)≠fA(x)?fB(x)
由此可得④不正确.
故答案为:①②③.
【点评】本题给出特征函数的定义,判断几个命题的真假性,着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识,属于中档题.
6. 已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B为( )
A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
参考答案:
C
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据补集和并集的定义,写出(?UA)∪B即可.
【解答】解:全集U={0,1,2,3,4},
集合A={1,2,3},B={2,4},
则?UA={0,4},
所以(?UA)∪B={0,2,4}.
故选:C.
7. 如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是( )
A. ①③ B. ② C. ②④ D. ①②④
参考答案:
A
8. 函数的一个单调递增区间可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 已知实数满足,则的最大值为( )
A. 8 B. 2 C. 4 D. 6
参考答案:
D
【分析】
设点,根据条件知点均在单位圆上,由向量数量积或斜率知识,可发现,对目标式子进行变形,发现其几何意义为两点到直线距离之和有关.
【详解】设,,
均在圆上,且,设的中点为,则点到原点的距离为,
点在圆上,设到直线的距离分别为,
,
,.
【点睛】利用数形结合思想,发现代数式的几何意义,即构造系数,才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.
10. 图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A.y=|x﹣1|(0≤x≤2) B.y=﹣|x﹣1|(0≤x≤2)
C.y=﹣|x﹣1|(0≤x≤2) D.y=1﹣|x﹣1|(0≤x≤2)
参考答案:
B
【考点】函数的图象与图象变化.
【分析】求已知图象函数的解析式,常使用特殊值代入排除法.
【解答】解:由已知函数图象易得:
点(0,0)、(1、)在函数图象上
将点(0,0)代入可排除A、C
将(1、)代入可排除D
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积是___
参考答案:
6
【分析】
先作出几何体图形,再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
【详解】几何体如图所示:
去掉的三棱柱的高为2,底面面积是正方体底面积的 ,
所以三棱柱的体积:
所以几何体的体积:
【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形,方法:先作出正方体的图形,再根据三视图“切”去多余部分.
12. (5分)已知α为实数,函数f(x)=x2+2ax+1在区间[0,1]上有零点,则α的取值范围 .
参考答案:
a≤﹣1
考点: 函数零点的判定定理;二次函数的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: f(x)=x2+2ax+1在区间[0,1]上有零点可化为方程x2+2ax+1=0在区间[0,1]上有根;由二次方程的根判断即可.
解答: ∵f(x)=x2+2ax+1在区间[0,1]上有零点,
∴方程x2+2ax+1=0在区间[0,1]上有根;
∴△=4a2﹣4≥0,
故a≤﹣1或a≥1;
①当a≤﹣1时,﹣a≥1;
故f(0)?f(1)≤0;
解得,a≤﹣1;
②当a≥1,即﹣a≤﹣1时,
故f(0)?f(1)≤0;
无解;
综上所述,a≤﹣1;
故答案为:a≤﹣1.
点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题.
13. 若f(tanx)=sin2x,则f(﹣1)的值是 .
参考答案:
﹣1
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】令tanx=﹣1,则有x=kπ﹣或x=kπ+,从而解得sin2x=﹣1可得到结果.
【解答】解:令tanx=﹣1
∴x=kπ﹣或x=kπ+
∴sin2x=﹣1
即:f(﹣1)=﹣1
故答案为:﹣1
14. 用秦九韶算法计算当时, __
参考答案:
83
15. 函数f(x)=的值域为______________。
参考答案:
16. 过两点A(2,-1),B(3,1)的直线的斜率为 .
参考答案:
2
由题意得,过点A,B的直线的斜率为
.
17. 设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 ;
参考答案:
2;
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知tanα,是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两实根,且3π<α<π,求cos(3π+α)﹣sin(π+α)的值.
参考答案:
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】根据题意,由韦达定理表示出两根之和列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出两根之和,联立求出tanα与的值,根据α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值,所求式子利用诱导公式化简后将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解:由已知得:tanα?=k2﹣3=1,
∴k=±2,
又∵3π<α<π,
∴tanα>0,>0,
∴tanα+=k=2>0(k=﹣2舍去),
∴tanα==1,
∴sinα=cosα=﹣=﹣,
∴cos(3π+α)﹣sin(π+α)=sinα﹣cosα=0.
19. (本小题满分10分)解关于x的不等式.
参考答案:
20.
写出下列各命题的否命题和命题的否定:
(1),若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则是等比数列。
参考答案:
解析: (1)否命题:,若,则;命题的否定:,若,则
(2)否命题:若,则;命题的否定:若,则;
(3)否命题:若,则;命题的否定:,若,则;
(4)否命题:若,则不是等比数列。命题的否定:,若,则不是等比数列。
21. 已知函数, ()
(1)若在上单减,求的取值范围.
(2)求的解析式.
(3)当时,求函数的值域.
参考答案:
解:(1)∵的对称轴是,开口向上,
∴在上单减,在上单增
若在上单减,则,∴
(2)
(3) 当时, 其定义域为R, 设
∵ ∴
而是增函数 ∴ ∴函数的值域是
略
22. 如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、CD和SC的中点.求证:
(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
参考答案:
【考点】LS:直线与平面平行的判定;LU:平面与平面平行的判定.
【分析】(1)连结SB,由已知得EG∥SB,由此能证明直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连结SD,由已知得FG∥SD,从而FG∥平面BDD1B1,又直线EG∥平面BDD1B1,由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1.
【解答】证明:(1)如图,连结SB,
∵E、G分别是BC、SC的中点,
∴EG∥SB,
又SB?平面BDD1B1,EG不包含于平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图,连结SD,
∵F,G分别是DC、SC的中点,∴FG∥SD,
又SD?平面BDD1B1,FG不包含于平面BDD1B1,
∴FG∥平面BDD1B1,
又直线EG∥平面BDD1B1,且直线EG?平面EFG,直线FG?平面EFG,
EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.