湖南省邵阳市新邵县第二中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “a>1”是“函数f(x)=ax+cosx在(-∞,+∞)上单调递增”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
2. 如图,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,且∠C1EF=90°,则AF:FB=( )
A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】设出正方体的棱长,求出C1E,利用∠C1EF=90°,通过C1F求出x的值,即可得到结果.
【解答】解:解:设正方体的棱长为:2,由题意可知C1E==3,
∠C1EF=90°,所以设AF=x,12+x2+C1E2=22+22+(2﹣x)2,
解得:x=,所以AF:FB=:=1:3;
故选:C.
【点评】本题是基础题,考查正方体的变的计算,考查直角三角形的利用,长方体的性质,考查计算能力.
3. 在10人中,有4个学生,2个干部,3个工人,1个农民,数是学生占总体的( )
A、频数 B、概率 C、频率 D、累积频率
参考答案:
C
4. 定义域为R的连续函数,对于任意都有:,且其导函数满足.则当时:
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 下列说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1的否命题为:“若x2=1,则x≠1”
B.“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件
C.命题“?x0∈R,使得x02+x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“已知A,B为一个三角形两内角,若A=B,则sinA=sinB”的否命题为真命题
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】写出命题的否命题判断A;由两直线垂直与系数的关系求得m判断B;写出特称命题的否定判断C;由充分必要条件的判定方法判断D.
【解答】解:命题“若x2=1,则x=1的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,故A错误;
由1×1﹣m2=0,得m=±1,
∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件,故B错误;
命题“?x0∈R,使得x02+x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1≥0”,故C错误;
由三角形中,A=B?a=b?sinA=sinB,得:
命题“已知A,B为一个三角形两内角,若A=B,则sinA=sinB”的否命题为真命题,故D正确.
故选:D.
6. 如果一元二次方程中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率P= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知复数,那么对应的点位于复平面内的
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
D
8. 已知函数,则( )
A. 15 B. 30 C. 32 D. 77
参考答案:
B
【分析】
先求得导函数,由此求得.
【详解】依题意,所以.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了导数的计算,属于基础题.
9. 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1﹣﹣160编号,按编号顺序平均分成20组(1﹣﹣8号,9﹣﹣16号,…,153﹣﹣160号).若第16组应抽出的号码为126,则第一组中用抽签方法确定的号码是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
考点: 系统抽样方法.
专题: 计算题.
分析: 按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列,a1=x,a16=126,d=8(d是公差)
解答: 解:设在第一组中抽取的号码是x(1≤x≤8)
由题意可得分段间隔是8
又∵第16组应抽出的号码为126
∴x+15×8=126
∴解得x=6
∴第一组中用抽签方法确定的号码是6.
点评: 系统抽样形象地讲是等距抽样,系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,系统抽样属于等可能抽样.
10. 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 幂函数,当取不同的值时,在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线,如题(14)图,设点,,连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数,的图象三等分,即,则________;
参考答案:
1
12. “若x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是
参考答案:
13. 一种报警器的可靠性为%,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 ▲ .
参考答案:
14. 已知等比数列的前n项和为Sn,且a1+a3=,则= .
参考答案:
2n﹣1
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
∵a1+a3=,
∴,
解得a1=2,q=,
∴Sn==,
an=2×,
则=2n﹣1.
故答案为:2n﹣1.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15. 命题“?x0∈R,使得x02+2x0+5>0”的否定是 .
参考答案:
?x∈R,都有x2+2x+5≤0
【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【解答】解:命题是特此命题,则命题的否定是:?x∈R,都有x2+2x+5≤0,
故答案为:?x∈R,都有x2+2x+5≤0
16. 由1,4,5,可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之和为288,则= .
参考答案:
2
略
17. 某大学有本科生12000人,硕士研究生1000人,博士研究生200人.现用分层抽样的方法,从所有学生中抽取一个容量为n的样本进行调查,如果应从博士研究生中抽取20人,那么n= 人.
参考答案:
1320
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知: A(-5,0)、B(5,0), 直线AM,BM交于M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程,并说明该轨迹是何曲线。
参考答案:
解:设M的坐标(x,y),知 kAM=, kBM=
由已知得, 化简得轨迹方程为:
该轨迹是椭圆(去掉两个顶点)
19. 已知函数为实数。
(I)若处取得的极值为2,求的值;
(II)若在区间[—1,2]上为减函数,且,求的取值范围。
参考答案:
(1);-------------------4分;
检验:当时,在上,在上,故为其极大值。符合题意。----------------6分
(2)--------9分,解得:----------------13分
略
20. 已知点在椭圆上, 以为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点.
(1)若圆与轴相切,求椭圆的离心率;
(2)若圆与轴相交于两点,且是边长为2的正三角形,求椭圆的方程.
参考答案:
解:(1)设,圆M的半径为.
依题意得
将代入椭圆方程得:,所以,又
从而得 ,两边除以得:
解得:……………………………………………….4分
因为,所以 ………………………………………6分
(2)因为是边长为2的正三角形,所以圆M的半径,
M到圆轴的距离 又由(1)知:,
所以,, 又因为 ,解得:,
所求椭圆方程是:……………………………………………12分
略
21. 已知函数f(x)=lnx+x2.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣3x的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)由已知得到h(x),求其导函数,解得导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,求得函数的单调区间,进一步求得极值;
(Ⅱ)由函数g(x)=f(x)﹣ax在定义域内为增函数,可得g′(x)≥0(x>0)恒成立,分离参数a,利用基本不等式求得最值得答案.
【解答】解:(Ⅰ) 由已知,得h(x)=f(x)﹣3x=lnx+x2﹣3x,(x>0),
令=0,得x=或x=1,
∴当x∈(0,)∪(1,+∞)时,h′(x)>0,当x∈()时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,),(1,+∞)上为增函数,在()上为减函数.
∴h(x)极小值=h(1)=﹣2,;
(Ⅱ)g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x2﹣ax,g′(x)=,
由题意,知g′(x)≥0(x>0)恒成立,
即a≤.
∵x>0时,2x+,当且仅当x=时等号成立.
故,
∴a.
22. 已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
参考答案:
解:(1)当时,, 当时,
当时,不满足上式,故
(2)
,
令 ①
②
①—②得:
,
.