2022-2023学年山西省临汾市东永第一中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象是（ ）
参考答案：
A
2. 函数的图象是 （ ）
参考答案：
A
3. 设函数图像的一条对称轴是直线
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3）试说明函数的图像可由函数的图像如何变换而得到？
参考答案：
（1） （2） （3）略
略
4. 如果实数x、y满足条件那么z=4x·2-y的最大值为
A．1 B．2 C． D．
参考答案：
5. 已知抛物线，过其焦点F的直线交抛物线于A．B两点，设A．B在抛物线的准线上的射影分别是A1．B1，则∠A1FB1= （ ）
A．450 B．600 C．900 D．1200
参考答案：
C
略
6.
设集合A=，m、n∈A，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
参考答案：
答案:A
7. 设集合则
（A） {3} （B） {7,8} （C） {4,5,6,7,8} （D） {1,2,7,8}
参考答案：
Ｂ
Ｕ＝｛１，２,３,４,５,６,７,８｝，
｛７,８｝
考点：集合的交集，并集和补集
【答案】
【解析】
8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．3 B．9 C. 18 D．27
参考答案：
D
9. 设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
参考答案：
C
略
10. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．6
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线的一个单位法向量为 （填一个即可）．
参考答案：
或
12. 在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。
参考答案：
4
13. 若满足且的最大值为4，则的值为 ;.
参考答案：
考点：线性规划
因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值
故答案为：
14. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是 ．
参考答案：
（﹣，1）
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
【解答】解：由，解得：﹣．
∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．
15. 若不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
参考答案：
[1，+∞）∪（﹣∞，﹣3]
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立可转换为ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立，分类讨论，去掉绝对值，得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：∵不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立，
∴ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立
①a＞0时，a+1≥2，∴a≥1，
②a＜0时，a+1≤﹣2，∴a≤﹣3，
③a=0不成立．
故答案为：[1，+∞）∪（﹣∞，﹣3]．
16. 已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
参考答案：
由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为.
17. 已知函数，则f(x)的最小值为_______．
参考答案：
－4
【分析】
先由题意得到函数的单调性，进而可求函数的最小值.
【详解】因为函数是单调递减函数，
所以时，函数.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，熟记基本初等函数的单调性即可，属于基础题型.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)
在中，已知，，两边所在
的直线分别与轴交于两点，且＝4．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，
①试确定点的坐标；
②设是点的轨迹上的动点，猜想的周长最大时点的位置，并证明你的猜想．
参考答案：
解析：（1）如图，设点，，，由三点共线，，＝．-------- 2分
同理，由三点共线可得：＝．----------- 3分
∵＝4，∴·＝＝4．化简，
得点C的轨迹方程为（x≠0）．-------5分
（2）若，
①设F（，0），C（），
∴（）＝－8（）．
∴＝，＝．
代入， 得＝±．∴（±，0），即为椭圆的焦点．---8分
②猜想：取（，0），设（－，0）是左焦点，则当点位于直线与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．------- 10分
证明如下：||＋||＝4－||＋||≤4＋||，
∴周长≤4＋||＋||≤8．---------------12分
19. 已知函数的定义域为R；
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）由题意可知恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；
（Ⅱ）由（1）可知，所以，
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为.
20. 设数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
参考答案：
（1）；（2）．
（2）由（1）可得
考点：数列的求和；数列的递推公式.
21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，点在侧棱上．
（1）求证：平面；
（2）若侧棱与底面所成角的正切值为，点为侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案：
（1）见解析;（2）
【知识点】线面垂直的判定定理；异面直线所成的角G5
解析：（1）由已知可算得，，故，
又，平面，故，
又，所以平面；………………………6分
（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，
易证明，则即异面直线与所成角；
又底面，即为与底面所成角，
即，，即，
易求得，，则在中，，
即异面直线与所成角的余弦值为． ………………………12分
【思路点拨】（1）由已知通过计算可得，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明，则即异面直线与所成角，再利用余弦定理即可。
22. 如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面 是等边三角形，且平面⊥底面,为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求 点G到平面PAB的距离。
参考答案：
（1）连接PG，∴，∵平面平面
∴平面，∴，
又是 ∴平面PAD…………………………………………………………6分
（2）设点G到平面PAB的距离为h,△PAB中，∴面积S=
∵，∴，
∴……………………………………………………………………………12分