河北省邯郸市西苏乡周村中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在菱形中,若,则=( )
A. B. C. D.与菱形的边长有关
参考答案:
B
2. 由直线y=0,x=e,y=2x及曲线y=所围成的封闭的图形的面积为( )
A.3 B.3+2ln2 C.e2﹣3 D.e
参考答案:
C
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】先联立两个曲线的方程,求出交点,以确定积分公式中x的取值范围,最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积,根据定积分公式解之即可.
【解答】解:由y=2x及曲线y=,可得交点坐标为(1,2),(﹣1,﹣2),
故所求图形的面积为S==(x2﹣2lnx)=e2﹣3.
故选:C.
3. 已知函教的图象与直线y = b (01时,M={x| 1;若a<1时M={x| a,a=1时,M=;,∴=>0,∴ a>1时,P=R,a<1时,P=; 已知,所以选C.
5. 若α是第四象限的角,则π﹣α是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
参考答案:
C
考点:象限角、轴线角.
专题:计算题.
分析:先求出α的表达式,再求﹣α的范围,然后求出π﹣α的范围.
解答: 解:若α是第四象限的角,即:2kπ﹣π<α<2kπ k∈Z
所以2kπ<﹣α<2kπ+π,k∈Z
2kπ+π<π﹣α<2kπ+k∈Z
故选C.
点评:本题考查象限角、轴线角,考查学生计算能力,是基础题.
6. 如图所示,在正方体中,、分别为,的中点,为上一动点,记为异面直线与所成的角,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
如图,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系,设正方体边长为,则,,,,.
∴,,
∴,,
∴,.
故选.
7. 命题“使得”的否定是
A.均有 B.均有
C.使得 D.均有
参考答案:
B
8. 下列命题中假命题是( )
A.?x0∈R,lnx0<0 B.?x∈(﹣∞,0),ex>0
C.?x>0,5x>3x D.?x0∈(0,+∞),2<sinx0+cosx0
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】举出正例x0=,可判断A;根据指数函数的图象和性质,可判断B,C;根据sinx+cosx=sin(x+)∈[﹣,],可判断D.
【解答】解:?x0=∈R,使lnx0<0,故A为真命题;
?x∈(﹣∞,0),ex>0,故B为真命题;
?x>0,5x>3x,故C为真命题;
sinx+cosx=sin(x+)∈[﹣,],
故?x0∈(0,+∞),2<sinx0+cosx0为假命题;
故选:D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了全称命题,特称命题,指数函数、对数函数、三角函数的图象和性质等知识点,难度基础.
9. 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的函数是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 设,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【分析】
由,可推出,可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出,与1的关系不确定,这样就可以选出正确答案.
【详解】因为,所以,,,显然中至少有一个大于1,如果都小于等于1,根据不等式的性质可知:乘积也小于等于1,与乘积大于1不符.
由,可得,与1的关系不确定,显然由“”可以推出,但是由推不出,当然可以举特例:如,符合,但是不符合,因此“”是“”的充分不必要条件,故本题选A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,由,,,判断出中至少有一个大于1,是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则实数a= .
参考答案:
﹣6
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据二项式展开式的通项公式,列出方程即可求出r与a的值.
【解答】解:(﹣)5展开式的通项公式为:
Tr+1=??=(﹣a)r??,
令=,解得r=1;
所以展开式中含x项的系数为:
(﹣a)?=30,
解得a=﹣6.
故答案为:﹣6.
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题,是基础题目.
12. 函数f(x)=的最大值与最小值之积等于 .
参考答案:
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 计算题;不等式的解法及应用.
分析: 分类讨论,利用基本不等式,求出函数f(x)=的最大值与最小值,即可得出结论.
解答: 解:f(x)==,
x=0时,f(0)=0,
x≠0时,f(x)=,
x>0时,x+≥2,
∴0<f(x)≤,
x<0时,x+≤﹣2,
∴﹣≤f(x)<0,
综上,∴﹣≤f(x)≤,
∴函数f(x)=的最大值与最小值之积等于﹣.
故答案为:﹣.
点评: 本题考查函数的最值及其几何意义,考查基本不等式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
13. 设等差数列和的前n项和分别为、,若对任意自正整数n都有则 。
参考答案:
略
14. 已知实数x,y,z满足 则xyz的最小值为 .
参考答案:
由xy+2z=1,可得z==.可得5=x2+y2+,≥±2xy+,化为:x2y2+6xy﹣19≤0,或:x2y2﹣10xy﹣19≤0.解出经过比较利于二次函数的单调性可得.
解:由xy+2z=1,可得z==.
∴5=x2+y2+≥2|xy|+,化为:x2y2+6xy﹣19≤0,或:x2y2﹣10xy﹣19≤0.
由x2y2+6xy﹣19≤0,解得:0≤xy≤﹣3+2.
由x2y2﹣10xy﹣19≤0,解得:5≤xy≤0.
∴xyz=xy×=+,
可得:经过比较利于二次函数的单调性可得:xy=5时,xyz取得最小值为.
故答案为:.
15. 内角的对边分别是,若,
,则 .
参考答案:
略
16. 若两个非零向量满足,则向量与的夹角为
参考答案:
略
17. 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍,忽听“砰”的一声,讲台上的花盆被打破了,甲说:“是乙不小心闯的祸”乙说:“是丙闯的祸”,丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话,那么这个小朋友是 .
参考答案:
丙
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】运用反证法,假设结论成立,再经过推理与证明,即可得出正确的结论.
【解答】解:假设甲说的是实话,则“是乙不小心闯的祸”正确,丙、丁说的都是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误;
假设乙说的是实话,则“是丙闯的祸”正确,丁说的也是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误;
假设丙说的是实话,则“乙说的不是实话”正确,甲、乙、丁说的都是不实话,
得出丁闯的祸,符合题意;
假设丁说的是实话,则“反正不是我闯的祸”正确,甲、乙、丁中至少有一人说的是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误.
故答案为:丙.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)四棱锥的底面是边长为1的正方形,
,, 为上两点,且
.
(1)求证:面;
(2)求异面直线PC与AE所成的角
(3)求二面角的正切值.
参考答案:
法1:(1)连BD交AC于O,连OE.
(2)过E作交于,则为异面直线所成的角或补角,由计算可得
,在中用余弦定理可得
,则异面直线所成的角为。
(2)由PA=1, AD=1, PD=
∴PA⊥面ACD 又CD⊥AD ∴CD⊥PD.
取PD中点M. ∴AM⊥面PCD, 过M作MN⊥CE交CE于N.
连AN 则∠ANM为A-EC-PE切值.
AM=.又△MNE∽△CDE ∴
Pt△AMN中,
法2:以A为坐标原点.AB为轴,AD为轴,AP为轴建立坐标系.
则B(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1), C(1,1,0), , E
(1).设面ACE法向量
∴BF//面ACE.
(2) ,,
则异面直线所成的角为
(3)设面PCE法向量 则
∴二面角A-EC-P的正切值为.
19. (本小题满分16分)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足a1+a2+a3=9,b1b2b3=27.
(1)若a4=b3,b4-b3=m.
①当m=18时,求数列{an}和{bn}的通项公式;
②若数列{bn}是唯一的,求m的值;
(2)若a1+b1,a2+b2,a3+b3均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差d的最大值.
参考答案:
(1)①由数列{an}是等差数列及a1+a2+a3=9,得a2=3,
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3=27,得b2=3. ………………2分
设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
若m=18,
② 由题设b4-b3=m,得3q2-3q=m,即3q2-3q-m=0(*).
因为数列{bn}是唯一的,所以
若q=0,则m=0,检验知,当m=0时,q=1或0(舍去),满足题意;
若q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得m=-,代入(*)式,解得q=,
又b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意.
所以,m=0或- . ………………8分
(2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3),
设{bn}公比为q,则有36=(3-d+)(3+d+3q), (**)
记m=3-d+,n=3+d+3q,则mn=36.
将(**)中的q消去,整理得: d2+(m-n)d+3(m+n)-36=0 ………………10分
d的大根为
而m,n∈N*,所以 (m,n)的可能取值为:
(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) .
所以,当m=1,n=36时,d的最大值为 . ………………16分
20. (本题满分12分)已知函数(R,,,)图象如图,P是图象的最高点,Q为图象与x轴的交点,O为原点.且,,.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象,当时,求函数的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)由余弦定理得,
∴,得P点坐标为.
∴ ,,.
由,得.
∴的解析式为.
(Ⅱ),
.
当时,,
∴ 当,即时.