2022-2023学年陕西省咸阳市阡东中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过抛物线的焦点F作不与坐标轴垂直的直线,交抛物线于M,N两点,弦MN的垂直平分线交轴于点H,若,则( )
A.10 B.8 C.6 D.4
参考答案:
A
设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为 (x0,y0),则
∴MN的垂直平分线为
令y=0,则
∴
∵
∴,
故选:A.
2. 平行六面体的棱长均为1 ,
则对角线的长为
A B C D
参考答案:
B
略
3. 如图所示,边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是,则阴影部分的面积是( )
. . . .
参考答案:
C
略
4. 设,若直线与圆相切,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 直线kx﹣y+k=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切,则实数k等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】圆的切线方程.
【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系,即可得到结论.
【解答】解:因为直线kx﹣y+k=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切,
所以圆心到直线的距离为d==1,
所以k=或﹣.
故选:C.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查计算能力.
6. 命题“若,则”的否命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
B
略
7. 在等差数列中, 若, , , 则项数等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知是等比数列,,则公比=( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
D
略
9. 已知等差数列的前项和为,且满足,则数列的公差是( )
A. B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
10. 将方程的正根从小到大地依次排列为,给出以下不等式:
①;②;③;④;
其中,正确的判断是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列给出的几个式子中,正确的赋值语句是(填序号)
①3←A ; ②M← —M ; ③B←A←2 ; ④x+y←0
参考答案:
②
12. 已知数列{ a n }满足条件a1 = –2 , a n + 1 =2 + , 则a 5 = .
参考答案:
13. 在△ABC中.若b=5,,sinA=,则a= .
参考答案:
【考点】正弦定理.
【分析】直接利用正弦定理,求出a 的值即可.
【解答】解:在△ABC中.若b=5,,sinA=,所以,
a===.
故答案为:.
14. 若点A的坐标为(,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为 .
参考答案:
(,1)
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】判断点与抛物线的位置关系,利用抛物线的性质求解即可.
【解答】解:点A的坐标为(,2),在抛物线y2=2x的外侧,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值就是MF的距离,F(,0),可得M的纵坐标为:y==1.M的坐标为(,1).
故答案为:(,1).
15. 下列命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0?a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d?a=c,b=d”;
③“若a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”.
④命题“对任意,都有”的否定为“不存在,使得”
其中正确的是
参考答案:
①②
略
16. 已知双曲线C的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率e=_______
参考答案:
或
17. 某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为23,则在第四组中抽取的编号为__________.
参考答案:
63.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ,过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)求证:|PA|?|PB|=|AB|2.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)消去t参数可得直线l的普通方程;根据x=ρcosθ,y=ρsinθ带入可得曲线C的直角坐标方程.
(Ⅱ)曲线C和直线l联立方程组求解A,B坐标,利用两点之间的距离公式可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ,
x=ρcosθ,y=ρsinθ带入可得:y2=2x
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
直线l的参数方程为(t为参数),消去,可得x﹣y=﹣2+4,即x﹣y﹣2=0.
∴直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0.
(Ⅱ)证明:直线l与曲线C相交于A,B两点
联立方程组,解得坐标A(,),坐标B(3,1﹣)
∵P(﹣2,﹣4),
那么:|PA|?|PB|=
|AB|2==40.
∴|PA|?|PB|=|AB|2.
19. 已知曲线C: +=1,直线l:(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;KG:直线与圆锥曲线的关系.
【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以
sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C: +=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,
故曲线C的参数方程为,(θ为参数).
对于直线l:,
由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).
P到直线l的距离为.
则,其中α为锐角.
当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
20. 求下列各曲线的标准方程
(1)实轴长为12,离心率为,焦点在y轴上的椭圆;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点.
参考答案:
【考点】K7:抛物线的标准方程;K3:椭圆的标准方程.
【分析】(1)由题意a=6,c=4,b=2,即可求出椭圆的方程;
(2)双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点为(3,0),抛物线的焦点为(3,0),即可求出抛物线的方程.
【解答】解:(1)由题意a=6,c=4,b=2,椭圆的方程为=1;
(2)双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点为(3,0),∴抛物线的焦点为(3,0),∴抛物线的方程为y2=12x.
21. 已知平行四边形中,,为的中点,且是等边三角形,沿把折起至的位置,使得。
(1)若是线段的中点,求证:平面;
(2)求点到平面的距离。
参考答案:
22. 函数的定义域为R,求m的取值范围.
参考答案:
[0,)
略