湖北省武汉市重点示范中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知α,β,γ是不重合平面,a,b是不重合的直线,下列说法正确的是 ( )
A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机事件
B.“若a∥b,a?α,则b∥α”是必然事件
C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件
D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不可能事件
参考答案:
D
∵若b⊥α,又a⊥α,则必有a∥b,与a∩b=P矛盾。
2. 设数列{an}和{bn}都是等差数列,其中a1=25,b1=75,且a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项之和是( )
A.1000 B.10000 C.1100 D.11000
参考答案:
B
3. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
参考答案:
C
略
4. 已知等差数列满足,,则前n项和取最大值时,n的值为
A.20 B.21 C.22 D.23
参考答案:
B
略
5. 已知点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧,则( )
A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0 C.3x0+2y0<8 D.3x0+2y0>8
参考答案:
D
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】根据点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式(组)与平面区域可知,将两点的坐标代入直线方程式的左式,得到的值符号相反.
【解答】解:将点的坐标代入直线的方程,得:
3x0+2y0﹣8;3×1+2×2﹣8,
∵点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧,
∴(3x0+2y0﹣8)(3×1+2×2﹣8)<0,
即:3x0+2y0﹣8>0
故选D.
6. 学校为了了解高二年级教学情况,对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查.假设我校高二年级总人数为N,其中全省班有学生96人.若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43,则总人数N为 ( )
A.801; B.808; C.853; D.912.
参考答案:
B
7. 已知可导函数的导函数为,且满足:①,②
,记,则的大小顺序为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则其前13项和为( )
A.13 B.26 C.52 D.156
参考答案:
B
【考点】等差数列的性质.
【分析】由已知,根据通项公式,能求出a7=2,S13运用求和公式能得出S13=13a7,问题解决.
【解答】解:∵2(a1+a1+3d+a1+6d)+3(a1+8d+a1+10d)
=2(3a1+9d)+3(2a1+18d)
=12a1+72d=24,
∴a1+6d=2,
即a7=2
S13===2×13=26
故选B
【点评】本题考查等差数列的通项公式,前项和公式,注意简单性质的灵活运用.
9. 设是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
B
10. 一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m时,则水面宽为( )
A. m B.2m C.4.5m D.9m
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2Py(P>0),由题意知抛物线过点(2,﹣2),进而求得p,得到抛物线的标准方程.进而可知当y0=﹣3时x02的值,最后根据水面宽为2|x0|求得答案.
【解答】解:建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2Py(P>0),由题意知,抛物线过点(2,﹣2),
∴4=2p×2.∴p=1.∴x2=﹣2y.
当y0=﹣3时,得x02=6.
∴水面宽为2|x0|=2.
【点评】本题主要考查了抛物线的性质.属基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三个球的半径,,满足,则它们的表面积,,,满足的等量关系是___________
参考答案:
12. 已知函数f(x)=e2x+x2,则f'(0)= .
参考答案:
2
【考点】函数的值.
【分析】先求出f′(x)=2e2x+2x,由此能求出f'(0).
【解答】解:∵函数f(x)=e2x+x2,
∴f′(x)=2e2x+2x,
∴f'(0)=2e2×0+2×0=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查导数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
13. 在极坐标系中,过点A(,)引圆的一条切线,则切线长 .
参考答案:
14. 设点满足,则的最大值为 .
参考答案:
10
略
15. 已知F1、F2为椭圆的左右焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若,则= _____________
参考答案:
7
16. 若行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4,则a= .
参考答案:
2
【考点】二阶行列式的定义.
【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算,即可得到本题结论.
【解答】解:∵行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4,
∴﹣=4,
∴﹣(a﹣3a)=4,
∴a=2.
故答案为:2.
17. 直线在轴上的截距为__________.
参考答案:
令,解得,
故直线在轴上的截距为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知命题p:;命题q:不等式恒成立.
①若命题q为真命题,求实数的取值范围;
②若命题”p且q”为真命题,求实数的取值范围.
参考答案:
②命题”p且q”为真命题,
…………………………………………………………………12分
实数的取值范围为……………………………………………14分
19. 设实数x,y满足不等式组,求的最小值.
参考答案:
解:根据图象解得,
20. 已知命题p:关于x的不等式对一切恒成立,q:函数是增函数,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数的取值范围.
参考答案:
解:由关于x的不等式对一切恒成立,得
∴ —————4分
函数是增函数,得
∴ —————8分
如果p真且q假,则,此不等式组无解;—————10分
如果p假且 q真,则,解得————————13分
所以实数a的取值范围为 ————————————14分
略
21. (本小题满分12分) 如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长; (2)求cos< >的值;(3)求证:A1B⊥C1M.
参考答案:
如图,建立空间直角坐标系O—xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1) ∴| |=.
(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)
∴={-1,-1,2},={0,1,2,},
·=3,||=,||=
∴cos<,>=.
(3)证明:依题意,得C1(0,0,2)、M(,2),={-1,1,2},
={,0}.∴·=-+0=0,∴⊥, ∴A1B⊥C1M.
22. 小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成频率分布直方图,如图所示.
(Ⅰ)根据图中的数据信息,求出众数x1和中位数x2(精确到整数分钟);
(Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间y在上午7:00至7:30之间,而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等),求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率.
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
【专题】概率与统计.
【分析】(Ⅰ)众数为出现频率最高的数,体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点,中位数是从小到大排列中间位置的数,在直方图中其两边的小矩形面积相等,
(Ⅱ)考查几何概型,条件中已有父亲上班离家的时间y,再设报纸送达时间为x,关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能,收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y,围成平面区域为梯形,利用几何概型转化为面积之比求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)众数最高矩形所在区间的中点,则x1=7:00
由频率分布直方图可知6:50<x2<7:10即410<x2<430
∴20×0.0033+20×0.0117+(x2﹣410)×0.0233
=20×0.0100+20×0.0017+(430﹣x2)×0.0233
解得x2=6:59,
(Ⅱ)设报纸送达时间为x,则小明父亲上班前能取到报纸等价于,如图
所求概率为P=1﹣=
【点评】本题(Ⅰ)考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据,尤其是众数,中位数和平均数,要理解并记忆,(Ⅱ)概率不是古典概型就是几何概型,事件可一一列举多位古典概型,否则为几何概型,设报纸送达时间为x,关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域,转化为几何概型,求面积之比.