湖北省荆门市金龙泉学校2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】利用间接法,先求从9个数中任取3个数的取法,再求三个数分别位于三行或三列的情况,即可求得结论.
【解答】解:从9个数中任取3个数共有C93=84种取法,三个数分别位于三行或三列的情况有6种;
∴所求的概率为=
故选D.
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用,考查概率的计算公式,直接解法较复杂,采用间接解法比较简单.
2. 由不等式组确定的平面区域记为,不等式组确定的平面区域记为,在中随机抽取一点,则该点恰好在内的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数的有( )
A.24 B.30 C.40 D.60
参考答案:
A
4. 在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点坐标为( )
A.(4,0,6) B.(﹣4,7,﹣6) C.(﹣4,0,﹣6) D.(﹣4,7,0)
参考答案:
B
【考点】空间中的点的坐标.
【专题】计算题;函数思想;空间位置关系与距离.
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标.
【解答】解:∵在空间直角坐标系中,
点M(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为:(﹣x,y,﹣z),
∴点M(4,7,6)关于y轴的对称点的坐标为:Q(﹣4,7,﹣6).
故选:B.
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
5. 已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则( )
A., B., C., D.,
参考答案:
C
6. 已知a是常数,函数f(x)=x3+(1﹣a)x2﹣ax+2的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数g(x)=|ax﹣2|的图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】指数函数的图象变换.
【分析】求出原函数的导函数,由导函数的图象得到a>1,然后利用指数函数的图象平移得答案.
【解答】解:∵,
∴f′(x)=x2+(1﹣a)x﹣a,
由函数y=f′(x)的图象可知,
∴a>1,
则函数g(x)=|ax﹣2|的图象是把函数y=ax向下平移2个单位,然后取绝对值得到,如图.
故可能是D.
故选:D.
7. 若,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
:试题分析:由题意可知,介绍一个比较简答的方法,有点类似特殊值的方法,我们可以得到,,故选C
考点:三角函数二倍角公式,切弦互化
8. 若向量=(1,1),=(-1,1),=(4,2),则= ( )
A. 3+ B. 3- C. +3 D. +3
参考答案:
C
9. 若抛物线y2=x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为 ( )
A.-3 B.3 C.2 D.-2
参考答案:
D
10. 集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中,已知两点P(2,),Q(,),则线段PQ的长度为 .
参考答案:
4
12. 若不等式ax2﹣bx+2>0的解集为{x|﹣<x<},则a+b= .
参考答案:
﹣10
考点: 一元二次不等式的解法.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 由题意和三个二次的关系可得,解方程组可得.
解答: 解:∵不等式ax2﹣bx+2>0的解集为{x|﹣<x<},
∴a<0且,解得,
∴a+b=﹣12+2=﹣10
故答案为:﹣10
点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及韦达定理,属基础题.
13. 下面是一个算法的流程图,回答下面的问题:当输入的值为3时,输出的结果为
参考答案:
8
14. 不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a﹣1)y+7=0恒过定点 .
参考答案:
(﹣2,1)
【考点】恒过定点的直线.
【分析】由直线系的知识化方程为(x+2y)a+3x﹣y+7=0,解方程组可得答案.
【解答】解:直线(a+3)x+(2a﹣1)y+7=0可化为(x+2y)a+3x﹣y+7=0,
由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点,
解方程组可得
∴不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a﹣1)y+7=0恒过定点(﹣2,1)
故答案为:(﹣2,1)
15. 曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.
参考答案:
分析】
利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程。
【详解】,
当时其值为,
故所求的切线方程为,即。
【点睛】曲线切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′(x);
②求切线的斜率f′(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.
(2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程.
16. 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株,分别观察了9次、10次后,得到树苗高度的数据的茎叶图如图 (单位:厘米),则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________.
参考答案:
52
略
17. 若数列为等比数列,,则 。
参考答案:
21
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)设函数是奇函数,其中是常数,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的单调区间;
(Ⅲ)求在上的最大值与最小值.(用表示)
参考答案:
解:(Ⅰ)∵为奇函数, ∴即 …1分
得对任意≠0恒成立 1分
∴ ……1分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
∵ ……1分
∴当时,,
∴当时,在定义域内是减函数 …1分
又∵,当时,在上递增 1分
∴当时,单调递减,减区间为和 2分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:
当时,函数在定义域内是减函数
当时,函数在定义域内是增函数 ……1分
∵, ……1分
∴在上有 ………1分
∴当时,的最大值为,最小值为
当时,的最大值为,最小值为
略
19. 现有一批产品共有件,其中件为正品,件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取件,求3件都是正品的概率.
参考答案:
解:(1)有放回地抽取次,按抽取顺序记录结果,则都有种可能,所以试验结果有种;设事件为“连续次都取正品”,则包含的基本事件共有种,因此,……………………6分
(2)可以看作不放回抽样次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录,则有种可能,有种可能,有种可能,所以试验的所有结果为种.设事件为“件都是正品”,则事件包含的基本事件总数为, 所以 ……………………………12分
略
20. 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,
∵|a|=4,|b|=3,
代入上式得a·b=-6,
∴cos θ===-.
又0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,
∴|a+b|=.
(3)由(1)知∠BAC=θ=120°,=|a|=4, = |b| =3,
∴=sin∠BAC=×3×4×sin 120°=3.
21. 某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试,随机抽取15名学生的测试成绩,绘制茎叶图如图:
(Ⅰ)依据上述数据,估计甲校此次的体育平均成绩;
(Ⅱ)从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生,记这两名学生的平均成绩为,求|﹣|≤1的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.
【分析】(Ⅰ)读取茎叶图数据,求得平均数
(Ⅱ)列举从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数,满足|﹣|≤1的结果个数得出结果.
【解答】解:(Ⅰ) ==77.…
(Ⅱ)从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件:{75,77},{75,73},{75,78},{75,79},{77,73},{77,78},{77,79},{73,78},{73,79},{78,79}共10个;
其中满足|﹣|≤1的事件:{75,77},{75,78},{75,79},{77,78},{77,79},{73,79}共6个.
所以满足|﹣|≤1的概率P==.…
22. 某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在170~175cm的男生人数有16人.
(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?
(Ⅱ)在上述80名学生中,从身高在170~175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法,抽出5人,从这5人中选派3人当旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)直方图,身高在170~175 cm的男生的频率为0.4,由此能求出男生数和女生数.
(Ⅱ)在170~175 cm之间的男生有16人,女生人数有4人.按分层抽样的方法抽出5人,则男生占4人,女生占1人,由此能求出3人中恰好有一名女生的概率.
【解答】解:(Ⅰ)直方图中,因为身高在170~175 cm的男生的频率为0.08×5=0.4,设男生数为n,则,解得n=40,
由男生的人数为40,得女生的人数为80﹣40=40.(6分)
(Ⅱ)在170~175 cm之间的男生有16人,女生人数有4人.
按分层抽样的方法抽出5人,则男生占4人,女生占1人.(9分)
设男生为A1,A2,A3,A4,女生为B.
从5人任先两人,有种选法.
3人中恰好有一名女生包含的基本事件个数为=6,
∴3人中恰好有一名女生的