湖南省株洲市实验学校2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,是的中点,,点在上且满足,
则等于 ( )
(A) ( B) (C) (D)
参考答案:
D
略
2. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.16 B.8 C.4 D.2
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的S,k的值,可得当k=3时不满足条件k<3,退出循环,输出S的值为8,从而得解.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
k=0,S=1
满足条件k<3,执行循环体,S=1,k=1
满足条件k<3,执行循环体,S=2,k=2
满足条件k<3,执行循环体,S=8,k=3
不满足条件k<3,退出循环,输出S的值为8.
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是循环结构,当循环次数不多时,多采用模拟循环的方法,本题属于基础题.
3. 双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 函数y=x2cosx的导数为 ( )
A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx
C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=xcosx-x2sinx
参考答案:
A
略
5. 下列各函数的导数:①;②(ax)′=a2lnx;③(sin2x)′=cos2x;④()′=.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
B
【考点】导数的运算.
【分析】根据题意,依次对4个函数求导,比较即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次对4个函数求导:
对于①、y==,其导数y′=,正确;
对于②、y=ax,其导数y′=axlna,计算错误;
对于③、y=sin2x,其导数y′=2cos2x,计算错误;
对于④、y==(x+1)﹣1,其导数y′=﹣,计算错误;
只有①的计算是正确的;
故选:B.
6. 已知为实数,且,则“”是“”的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
参考答案:
B
略
7. 两个等差数列,它们前项和之比为,则两个数列的第9项之比是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 设p: ,q: 使得p是q的必要但不充分条件的实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 过抛物线焦点F做直线,交抛物线于,两点,若线段AB中点横坐标为3,则 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
参考答案:
B
10. 如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
= ==== .
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________.
参考答案:
略
12. 对于实数,若,,则的最大值 .
参考答案:
6
13. 某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= .
参考答案:
192
14. 已知f(x)=x+ -2(x<0),则f(x)有( )
A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4
参考答案:
C
略
15. 已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同,若圆柱M与球O的体积相等,则它们的表面积之比______.(用数值作答)
参考答案:
【分析】
由已知中圆柱M与球O的体积相等,可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系,进而求出圆柱和球的表面积后,即可得到S圆柱:S球的值.
【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R,M的高为h
则球的表面积S球=4πR2
又∵圆柱M与球O的体积相等
即
解得h=,
4πR2=2πR2+2πR?h
则S圆柱=2πR2+2πR?h=,S球,
∴S圆柱:S球,
故答案为:.
【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积,圆柱的体积和表面积,其中根据已知求出圆柱的高,是解答本题的关键.
16. 设双曲线b>0)的虚轴长为2,焦距为则双曲线的渐近线方程为
参考答案:
17. 给出下列命题:
①直线l的方向向量为=(1,﹣1,2),直线m的方向向量=(2,1,﹣),则l与m垂直;
②直线l的方向向量=(0,1,﹣1),平面α的法向量=(1,﹣1,﹣1),则l⊥α;
③平面α、β的法向量分别为=(0,1,3),=(1,0,2),则α∥β;
④平面α经过三点A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.
其中真命题的是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
①④
【考点】平面的法向量.
【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直,得出l⊥m;
②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,不能判断l⊥α;
③根据平面α、β的法向量与不共线,不能得出α∥β;
④求出向量与的坐标表示,再利用平面α的法向量,列出方程组求出u+t的值.
【解答】解:对于①,∵=(1,﹣1,2),=(2,1,﹣),
∴?=1×2﹣1×1+2×(﹣)=0,
∴⊥,
∴直线l与m垂直,①正确;
对于②, =(0,1,﹣1),=(1,﹣1,﹣1),
∴?=0×1+1×(﹣1)+(﹣1)×(﹣1)=0,
∴⊥,∴l∥α或l?α,②错误;
对于③,∵=(0,1,3),=(1,0,2),
∴与不共线,
∴α∥β不成立,③错误;
对于④,∵点A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),
∴=(﹣1,1,1),=(﹣1,1,0),
向量=(1,u,t)是平面α的法向量,
∴,
即;
则u+t=1,④正确.
综上,以上真命题的序号是①④.
故答案为:①④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知四棱锥的底面为直角梯形,,,
底面,且,是的中点.
⑴求证:直线平面;
⑵⑵若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
参考答案:
⑵由底面,得底面;
则与平面所成的角为;
∴, ∴和都是边长为正三角形,
取的中点,则,且 .
∴为二面角的平面角;在中 ,,
∴
∴二面角的余弦值
19. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)利用正弦定理化简边角关系式,结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得,根据的范围求得结果;(2)利用余弦定理构造等式,利用基本不等式可求得的最大值,代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】(1)由正弦定理得:,
即:,
(2)由(1)知:
由余弦定理得:(当且仅当时等号成立)
∴(当且仅当时等号成立)
的最大值为:
【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题,属于常考题型.
20. 如图,在三棱锥中,直线平面,且,又点,,分别是线段,,的中点,且点是线段上的动点.
(1)证明:直线平面;
(2)若=8,且二面角的平面角的余弦值为,试求的长度.
参考答案:
解:(1)连结QM,因为点,,分别是线段,,的中点
所以QM∥PA 且MN∥AC,从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC
又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC 而QK平面QMN
所以QK∥平面PAC
(2)方法1:过M作MH⊥AK于H,连QH,则∠QHM即为二面角的平面
角,设,且则,又,且
,所以,
解得,所以的长度为。
方法2:以B为原点,以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系,
则A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q (0,4,4) ,
设K(a,b,0),则a+b=4, =(0,-4,4),
记,则
取则,
则,
又平面AKM的一个法向量,设二面角的平面角为
则|cos|=,解得,
所以所以的长度为。
略
21. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
参考答案:
(1)
得0
∴在上递减,在上递增.
(2)∵函数在处取得极值,∴,
∴,
令,可得在上递减,在上递增,
∴,即.
(3)证明:,
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增.
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有.
22. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).
(Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域;zhangwlx
(Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.
参考答案:
略