2022年北京西井中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
A
2. 已知函数,则方程()的根的个数不可能为 ( )
( A)3 (B).4 (C).5 (D). 6
参考答案:
A
3. 若直线与圆C:相交,则点的位置是( )
A.在圆C外 B.在圆C内 C.在圆C上 D.以上都可能
参考答案:
A
略
4. 设集合,全集,则集合中的元素共有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
参考答案:
A
5. 已知抛物线上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,则点M的纵坐标是( )
A. 0 B. C. 1 D. 2
参考答案:
C
试题分析:先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程,进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等,进而推断出yp+1=2,求得yp.
解:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=﹣1,
根据抛物线定义,
∴yp+1=2,
解得yp=1.
故选:C.
考点:抛物线的简单性质.
6. 用正偶数按下表排列
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行
2
4
6
8
第二行
16
14
12
10
第三行
18
20
22
24
…
…
28
26
则2010在第 行第 列. ( )
A.第 251行第 2 列 B.第 251 行第 4 列
C.第 252 行第 4 列 D.第 252 行第 2列
参考答案:
C
略
7. 下列说法中不正确的个数是 ( )
①命题“x∈R, ≤0”的否定是“∈R, >0”;
②若“pq”为假命题, 则p、q均为假命题;
③“三个互不相等的数a, b, c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
B
8. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记事件A={两次的点数之差的绝对值为4},则P(A)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an,则{an}的前51项和S51=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】数列的求和.
【分析】根据数列{an}的递推公式,得到an+2=an+1﹣an,又a1=1,a2=2求得各项的值进行相加.由于项数较多,可注意到各项的值是否会出现一定的变化规律,从而为计算带来方便
【解答】解:由a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an,
得a3=2﹣1=1,a4=﹣1,a5=﹣2,a6=﹣1,a7=1,a8=2,…数列{an}各项的值重复出现
∴s51=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+a8+…a12)+…+(a49+a50+…+a51)=0+0+…+0+1+2=1=4
故选:D
10. 下列命题正确的是 ( )
A. 两条直线确定一个平面 B. 经过三点确定一个平面
C. 经过一条直线和直线外一点确定一个平面 D. 四边形确定一个平面
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若“使”是假命题,则实数的范围 .
参考答案:
略
12. 已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形,其尺寸如图所示,则其侧视图的周长为____________.
参考答案:
13. 已知双曲线C: (a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为 .
参考答案:
14. 已知函数,.则函数f(x)的最小正周期 _______
参考答案:
π
【分析】
首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简,再根据即可。
【详解】由题意得:
,
∴函数f(x)的最小正周期;
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及周期的计算,属于基础题。
15. 已知,则不等式的解集为______.
参考答案:
当时,,解得 ;当时,,恒成立,解得:,合并解集为 ,故填:.
16. 已知函数y=f(x)恒满足f(x+2)=f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=2|x|﹣1,则函数g(x)=f(x)﹣|lgx|在R上的零点的个数是 .
参考答案:
8
【考点】3P:抽象函数及其应用.
【分析】作出f(x)与y=|lgx|的函数图象,根据函数图象的交点个数得出答案.
【解答】解:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,
令g(x)=0得f(x)=|lgx|,
作出y=f(x)与y=|lgx|的函数图象如图所示:
由图象可知f(x)与y=|lgx|在(0,1)上必有1解,
又f(x)的最小值为,f(x)的最大值为1,
∵lg2<lg=,lg4>lg=,lg9<1,lg11>1,
∴f(x)与y=|lgx|在(10,+∞)上没有交点,
结合图象可知f(x)与y=|lgx|共有8个交点,
∴g(x)共有8个零点.
故答案为:8.
17. 过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.
参考答案:
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)利用平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,可得DC⊥平面ABC,利用线面垂直的性质,可得DC⊥AB;
(2)过C作CE⊥AB于E,连接ED,可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角.设CD=a,则BC==,从而EC=BCsin60°=,在Rt△DEC中,可求tan∠DEC.
【解答】(1)证明:∵DC⊥BC,且平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,
∴DC⊥平面ABC,
又AB?平面ABC,
∴DC⊥AB.…
(2)解:过C作CE⊥AB于E,连接ED,
∵AB⊥CD,AB⊥EC,CD∩EC=C,
∴AB⊥平面ECD,
又DE?平面ECD,∴AB⊥ED,
∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角,…
设CD=a,则BC==,
∵△ABC是正三角形,
∴EC=BCsin60°=,
在Rt△DEC中,tan∠DEC=.…
19. (本题满分13分)
射击比赛中,每位射手射击队10次,每次一发,击中目标得3分,未击中目标得0分,每射击一次,凡参赛者加2分,已知小李击中目标的概率为0.8.
(1)设X为小李击中目标的次数,求X的概率分布;
(2)求小李在比赛中的得分的数学期望与方差.
参考答案:
(1)X的概率分布为
X
O
1
…
10
P
0.210
…
0.810
(2)设小李在比赛中的得分为Y,由(1)知满足二项分布所以
E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2==26,
D(Y)= D(3X+2)=9D(X) ==14.4,
略
20. 如图正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线?
(2)求直线BA1和CC1所成的角的大小.
参考答案:
21. 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且,
(1)求角C的值;
(2)若a=1,△ABC的面积为,求c的值.
参考答案:
【考点】正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(1)在锐角△ABC中,由及正弦定理得求出,从而求得C的值.
(2)由面积公式求得b=2,由余弦定理求得c2的值,从而求得c的值.
【解答】解:(1)在锐角△ABC中,由及正弦定理得,,…
∵sinA≠0,∴,∵△ABC是锐角三角形,∴.…
(2)由面积公式得,,∵,∴b=2,….
由余弦定理得,c2=a2+b2﹣2abcosC=,∴.…
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,已知三角函数值求角的大小,属于中档题.
22. 已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,不等式f(x)≥bx﹣2对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)对函数进行求导,然后令导函数大于0求出x的范围,令导函数小于0求出x的范围,即可得到答案;
(Ⅱ)由函数f(x)在x=1处取得极值求出a的值,再依据不等式恒成立时所取的条件,求出实数b的取值范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
..
若a≤0,则f'(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)上递减;
若a>0,则由f'(x)>0得:;
由f'(x)<0得:.
∴f(x)在上递减,在递增.
(Ⅱ)∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,即a﹣1=0,解得:a=1.
∴f(x)=x﹣1﹣lnx.
由f(x)≥bx﹣2得:x﹣1﹣lnx≥bx﹣2,
∵x>0,
∴.
令,
则
由g'(x)>0得:x>e2;
由g'(x)<0得:0<x<e2.
所以,g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+∞)递增.
∴,
∴.