河南省周口市韭园镇高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. i是虚数单位,复数等于( )
参考答案:
A
2. 若正四棱锥的底面边长和棱长都等于a,则它的内切球的半径长是( )
(A)a (B)a (C)a (D)a
参考答案:
B
3. 在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点坐标为( )
A.(4,0,6) B.(﹣4,7,﹣6) C.(﹣4,0,﹣6) D.(﹣4,7,0)
参考答案:
B
【考点】空间中的点的坐标.
【专题】计算题;函数思想;空间位置关系与距离.
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标.
【解答】解:∵在空间直角坐标系中,
点M(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为:(﹣x,y,﹣z),
∴点M(4,7,6)关于y轴的对称点的坐标为:Q(﹣4,7,﹣6).
故选:B.
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
4. 满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的点(x,y)所在的区域应为( )
参考答案:
B
略
5. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 下列命题中:
①若p,q为两个命题,则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件.
②若p为:,则为:.
③命题“”的否命题是“”.
④命题“若则q”的逆否命题是“若p,则”.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
参考答案:
A
7. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A.90 B.75 C.60 D.45
参考答案:
A
【考点】B8:频率分布直方图;B5:收集数据的方法.
【分析】根据小长方形的面积=组距×求出频率,再根据求出频数,建立等式关系,解之即可.
【解答】解:净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2,产品净重小于100克的个数设为N1=36,样本容量为N,则,
故选A.
【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.对于总体分布,总是用样本的频率分布对它进行估计,频率分布直方图:小长方形的面积=组距×,各个矩形面积之和等于1,,即,属于基础题.
8. 函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间( )
A. B. C. D.(1,2)
参考答案:
B
9. 下列事件:①一个口袋内装有5个红球,从中任取一球是红球;②抛掷两枚骰子,所得点数之和为9;③;④方程有两个不相等的实数根;⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军。其中,随机事件的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
略
10. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面是边长为1的菱形,∠ABC=60°,
PA⊥底面ABCD,PA=1,则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( )
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点满足方程,则点到原点的最大距离是 ▲ .
参考答案:
12. (理)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 种.
参考答案:
10
13. 如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。
参考答案:
略
14. 若不等式的解集为,则实数的值为_____________.
参考答案:
15. 已知点满足,则其落在区域的概率等于 .
参考答案:
16. 设定义如下面数表,满足,且对任意自然数均有,则的值为
1
2
3
4
5
4
1
3
5
2
参考答案:
,根据题意,,,, ,,……,所以,数列是以为周期的周期数列,又,所以.
17. 给出下面四个命题:
①过平面外一点,作与该平面成角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行
③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行
④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等
其中正确的命题序号为 .
参考答案:
②④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二项式.
(1)若它的二项式系数之和为128.求展开式中系数最大的项;
(2)若,求二项式的值被7除的余数.
参考答案:
(1);(2)1.
【分析】
(1)根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值,利用,可得展开式中系数最大的项;
(2)利用二项展开式即可得到结果.
【详解】(1)
,
展开式中系数最大的项为第项
.
(2)
转化为被除的余数,,即余数为.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,系数最大的项,属于中档题.
19. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2?3n+k(k∈R,n∈N*)
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}满足an=4,Tn为数列{bn}的前n项和,试比较3﹣16Tn与 4(n+1)bn+1的大小,并证明你的结论.
参考答案:
【考点】89:等比数列的前n项和;8K:数列与不等式的综合.
【分析】(I)利用递推关系可得,n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4×3n﹣1由{an}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2,代入可求通项公式
(II)结合(I)可求得,根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求Tn,要比较3﹣16Tn 与
4(n+1)bn+1 的大小,可通过作差法可得,4(n+1)bn+1﹣(3﹣16Tn)=
通过讨论n的范围判断两式的大小
【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2﹣3n+k可得
n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4×3n﹣1
∵{an}是等比数列
∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2,an=4×3n﹣1
(Ⅱ)由和an=4×3n﹣1得
Tn=b1+b2+…+bn
=
两式相减可得,
=
4(n+1)bn+1﹣(3﹣16Tn)=
而n(n+1)﹣3(2n+1)=n2﹣5n﹣3
当或<0时,有n(n+1)>3(2n+1)
所以当n>5时有3﹣16Tn<4(n+1)bn+1
那么同理可得:当
时有n(n+1)<3(2n+1),所以当1≤n≤5时有3﹣16Tn>4(n+1)bn+1
综上:当n>5时有3﹣16Tn<4(n+1)bn+1;
当1≤n≤5时有3﹣16Tn>4(n+1)bn+1
20. 已知A,B,C为△ABC的三内角,且其对边分别为a,b,c,若m=,n=,且m·n=.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=4,△ABC的面积为,求a的值.
参考答案:
(1)由m·n=得-2cos2+1=?cosA=-,所以A=120°.
(2)由S△ABC=bcsinA=bcsin120°=,得bc=4,
故a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12,
所以a=2.
21. 某高校进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,其中在[30,35)岁,[35,40)岁年龄段人数中,“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.
(1)求[30,35)岁与[35,40)岁年龄段“时尚族”的人数;
(2)从[30,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中,采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛,其中两人作为领队.求领队的两人年龄都在[30,45)岁内的概率。
参考答案:
(1)岁的人数为.
岁的人数为.
(2)由(1)知岁中抽4人,记为、、、,
岁中抽2人,记为、,
则领队两人是、、、、、、、、、、、、、、共l5种可能,其中两人都在岁内的有6种,所以所求概率为.
22. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在 [20,45]内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[40,45]).
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
参考答案:
(1)20;(2)
【分析】
(1)选取的市民年龄在内的频率,即可求出人数;
(2)利用分层抽样的方法从第3组选3,记为A1,A2,A3从第4组选2人,记为B1,B2;再利用古典概型的概率计算公式即可得出.
【详解】(1)由题意可知,年龄在内的频率为,
故年龄在内的市民人数为.
(2)易知,第3组的人数,第4组人数都多于20,且频率之比为,
所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈,
所以应从第3,4组中分别抽取3人,2人.
记第3组的3名分别为,,,第4组的2名分别为,,则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为,,,,,,,,,,共有10种.
其中第4组的2名,至少有一名被选中的有:,,,,,,,共有7种,所以至少有一人的年龄在内的概率为.
【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,他们是否是等可能的.(2)用列举法求古典概型,是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别:一次性抽取是无顺序的问题,逐次抽取是有顺序的问题.