河南省洛阳市第三十四中学2022年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线上的点到直线距离的最小值是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
2. 流程图中表示判断框的是 ( )
A. 矩形框 B 、菱形框 C、 圆形框 D、椭圆形框
参考答案:
A
3. 两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R如下,其中拟合效果最好的模型是( )
A. 模型1的相关指数 B. 模型2的相关指数
C. 模型3的相关指数 D. 模型4的相关指数
参考答案:
D
【分析】
根据两个变量与的回归模型中,相关指数的绝对值越接近1,其拟合效果越好,由此得出正确的答案.
【详解】根据两个变量与的回归模型中,相关指数的绝对值越接近1,其拟合效果越好, 选项D中相关指数R最接近1,其模拟效果最好.
故选:D.
【点睛】本题考查了用相关指数描述两个变量之间的回归模型的应用问题,是基础题目.
4. 设{an}是等差数列,下列结论中一定成立的是( )
A.若,则 B.若,则
C .若,则 D.若,则
参考答案:
D
5. 下列三句话按“三段论”模式,小前提是( )
①y=cosx(x∈R)是三角函数;
②三角函数是周期函数;
③y=cosx(x∈R)是周期函数.
A.① B.② C.③ D.①或③
参考答案:
A
【考点】F6:演绎推理的基本方法.
【分析】根据三段论”的排列模式:“大前提”→“小前提”?“结论”,分析即可得到正确的次序.
【解答】解:根据“三段论”:“大前提”→“小前提”?“结论”可知:
①y=cosx(x∈R )是三角函数是“小前提”;
②三角函数是周期函数是“大前提”;
③y=cosx(x∈R )是周期函数是“结论”;
故选:A
【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法:大前提一定是一个一般性的结论,小前提表示从属关系,结论是特殊性结论.
6. 充满气的车轮内胎(不考虑胎壁厚度)可由下面某个图形绕对称轴旋转而成,这个图形是( )
参考答案:
C
选项A得到的是空心球;D得到的是球;选项C得到的是车轮内胎;B得到的是空心的环状几何体,故选C.
7. 设函数=2+3,,则的表达式是 ( )
A. =2+1 B. =2-1
C. = 2-3 D. =2+7
参考答案:
D
略
8. 已知、、是三个不同的平面,且,,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【分析】
根据几何模型与面面平行的性质定理,结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.
【详解】如下图所示,将平面、、视为三棱柱的三个侧面,设,将、、视为三棱柱三条侧棱所在直线,则“”“”;
另一方面,若,且,,由面面平行的性质定理可得出.
所以,“”“”,因此,“”是“”的必要而不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,同时也考查了空间中平行关系的判断,考查推理能力,属于中等题.
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线平行于平面,则平行于内的任意一条直线
B. 直线与平面相交,则不平行于内的任意一条直线
C. 直线不垂直于平面,则不垂直于内的任意一条直线
D. 直线不垂直于平面,则过的平面不垂直于
参考答案:
B
10. 已知a∈R,命题“?x∈(0,+∞),等式lnx=a成立”的否定形式是( )
A.?x∈(0,+∞),等式lnx=a不成立
B.?x∈(﹣∞,0),等式lnx=a不成立
C.?x0∈(0,+∞),等式lnx0=a不成立
D.?x0∈(﹣∞,0),等式lnx0=a不成立
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解判断.
【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是:
?x0∈(0,+∞),等式lnx0=a不成立,
故选:C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一般地,给定平面上有个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为,已知的最小值是, 的最小值是, 的最小值是.试猜想的最小值是 .
参考答案:
略
12. 下列说法中正确的是__________.
①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
②“”是“”的充要条件;
③“,则,全为” 的逆否命题是“若,全不为,则”
④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真;
⑤“为假命题”是“为真命题”的充分不必要条件.
参考答案:
②④⑤
解:①逆命题与否命题真假性相同,但无法判断其逆否命题真假,错误.
②由“”可推出,“”,“”也可推出,“”,正确.
③原命题的逆否命题为“若、不全为,则”,错误.
④否命题与逆命题真假性相同,正确.
⑤“”为假命题,那么为真命题,可推出,反之不成立,正确.
13. 若三个正数,,成等比数列,其中,,则 _
参考答案:
1
14. 周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_______ cm3.
参考答案:
【分析】
设矩形的一边长为x ,则另一边长为 ,,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.
【详解】设矩形的一边长为x ,则另一边长为 ,,
则圆柱的体积==,
当且仅当,即时等号成立.
故答案为: .
【点睛】本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题.
15. 曲线在处切线的斜率是 .
参考答案:
1
16. 已知,则不等式的解集为 .
参考答案:
17. 一条街道上有10盏路灯,将路灯依次排列并编号1到10.有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开,且这10盏路灯中至少打开两盏路灯.则符合要求的开法总数______.
参考答案:
133
【分析】
由题可知10盏路灯中至少打开两盏路灯,最多开5盏,再利用插空法分别求出开2,3,4,5盏的情况数,即可得到答案.
【详解】要满足这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开,且这10盏路灯中至少打开两盏路灯,则10盏路灯中至少打开两盏路灯,最多开5盏;
当开2盏时,符合要求的开法总数:种;
当开3盏时,符合要求的开法总数:种
当开4盏时,符合要求的开法总数:种
当开5盏时,符合要求的开法总数:种,
所以符合要求的开法总数:36+56+35+6=133
故答案为133.
【点睛】本题考查分类计数原理,以及排列组合中的插空法,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0),Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.
参考答案:
由题意知,点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,
∴|MA|+|MC|=|CQ|=5.∵A(1,0),C(-1,0),
∴点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
且2a=5,故a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.
故点M的轨迹方程为+=1.即+=1.
19. 用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
参考答案:
(1)156个;(2)216个.
【分析】
(1)偶数末位数字为当中的一个,因为不能放首位,可分为两大类,即末位为和或两种,分别计算出对应的数字个数,根据加法原理可得结果;(2)为的倍数的数字末位为或,分别计算对应的数字个数,根据加法原理可得结果.
【详解】(1)无重复数字的四位偶数可分为两大类:
个位数字为0,共有:个
个位数字为2或4,共有:个
由分类加法计数原理知无重复数字的四位偶数共有:个
(2)符合题意的五位数可分两大类:
个位数字为0,共有:个
个位数字为5,共有:个
由分类加法计数原理知满足题意的五位数共有:个
20. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为(为参数),曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点.
(1)求的值; (2)求点到、两点的距离之积.
参考答案:
解:(1) 曲线的普通方程为,,
则的普通方程为,则的参数方程为:
代入得,
(2)
略
21. (本小题满分12分)已知,若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围.
参考答案:
解:由得.
由 得 ··········6分
∵是的必要而不充分条件
∴p是q的充分而不必要条件
∴由得
又时命题成立.
∴实数的取值范围是 ··········12分
略
22. (本小题14分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点,
(1) 求证:平面A B1D1∥平面EFG;
(2) 求证:平面AA1C⊥面EFG.
参考答案:
(1)连接BD、BC1
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD
又∵△BCD中,E、F分别是CB、CD的中点
∴EF∥BDEF∥B1D1
又∵EF平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1
∴EF∥平面AB1D1,同理可得EG∥平面AB1D1
(2)∵AA1⊥平面ABCD,EF?平面ABCD,
∴AA1⊥EF
∵正方形ABCD中,AC⊥BD且EF∥BD
∴AC⊥EF
∵AA1∩AC=A, AA1、AC平面AA1C
∴EF⊥平面AA1C
∵EF面EFG
∴平面AA1C⊥面EFG.………16分