河南省郑州市巩义第四高级中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中错误的个数为 ( )
①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本身一定为真;③是的充要条件;④与是等价的;⑤“”是“”成立的充分条件.
A. 2 B. 3 C.4 D.5
参考答案:
C
略
2. 如图,在圆心角为,半径为1的扇形中,在弦AB上任取一点C,则的概率为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,
则函数在开区间内有极小值点( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A
略
4. 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )
A.62 B.63
C.64 D.65
参考答案:
C
5. 某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间的人数为
参考答案:
B
略
6. 在边长为的正方形中裁去如图的扇形,再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周,所得几何体的表面积为
A.3π B.4π C.5π D.6π
参考答案:
C
7. 已知F1,F2是椭圆E:与双曲线E2的公共焦点,P是E1,E2在第一象限内的交点,若,则E2的离心率是( )
A.3 B.2 C. D.
参考答案:
B
8. 在平面直角坐标系中,为不等式组,所表示的区域上一动点,则直线斜率的最小值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 已知两条直线y=ax﹣2和y=(2﹣a)x+1互相平行,则a等于( )
A.﹣1 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】计算题;规律型;直线与圆.
【分析】直接利用平行线的充要条件列出方程求解即可.
【解答】解:两条直线y=ax﹣2和y=(2﹣a)x+1互相平行,
可知:1=,解得a=1.
故选:C.
【点评】本题考查平行线之间的关系,考查计算能力.
10. 已知函数的图象与x轴恰有两个公共点,则c=
A. -2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1
参考答案:
A
【分析】
利用导数判断函数的单调性求出极值点为,利用或可得结果.
【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为,极小值为,因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或,即或,故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点,属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题,往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ,极小值为 :一个零点或;两个零点或;三个零点且.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 1 若则----
参考答案:
16
略
12. 已知一个算法的流程图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为________.
参考答案:
-2或1
13. 在△ABC中,若||=1,||=,|+|=||,= .
参考答案:
1
考点:平面向量数量积的运算.
专题:平面向量及应用.
分析:利用|+|=||=|﹣|可知∠A=90°,进而计算可得结论.
解答: 解:∵|+|=||,
∴+2?+===﹣2?+,
∴?=0,即∠A=90°,
又∵||=1,||=,
∴==2,
∴cos∠B==,
∴==2||=1,
故答案为:1.
点评:本题考查平面向量数量积的运算,找出∠A=90°是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于基础题.
14. 设随机变量的分布列为P()=,(k=1,2,3), 其中c为常数,
则E .
参考答案:
略
15. 直线x﹣y﹣2=0的倾斜角为 .
参考答案:
【考点】直线的倾斜角.
【分析】设直线的倾斜角为α,则tanα=,α∈[0,π),即可得出.
【解答】解:设直线的倾斜角为α,
则tanα=,α∈[0,π),
∴α=.
故答案为.
16. 设F1、F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2的面积是______________.
参考答案:
1
略
17. 已知集合,则实数a的取值范围是
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
参考答案:
略
19. 如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,P是线段AD的中点。
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面平行的直线,说明理由,并证明直线;
(2)设(1)中的直线交于点M,
交AC于点N,求二面角的余弦值。
参考答案:
20. (本题12分)若点,在中按均匀分布出现.(1)点横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点落在上述区域的概率?(2)试求方程有两个实数根的概率.
参考答案:
略
21. 已知函数f(x)=x﹣lnx,g(x)=x3+x2(x﹣lnx)﹣16x.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:g(x)>﹣20.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求出函数的定义域,求出函数f(x)的导函数,在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间,令导函数小于0得到函数的递减区间;
(2)求出g(x)≥x3+x2﹣16x,(x>0),设h(x)=x3+x2﹣16x,(x>0),根据函数的单调性求出h(x)的最小值,从而证出结论即可.
【解答】解:(1)∵f′(x)=1﹣=,(x>0),
由f′(x)=0得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
∴x=1是函数f(x)的极小值点,
故f(x)的极小值是1.
(2)证明:由(1)得:f(x)≥1,
∴g(x)≥x3+x2﹣16x,(x>0),当且仅当x=1时“=”成立,
设h(x)=x3+x2﹣16x,(x>0),
则h′(x)=(3x+8)(x﹣2),
令h′(x)>0,解得:x>2,令h′(x)<0,解得:0<x<2,
∴h(x)min=h(2)=﹣20,
∴h(x)≥﹣20,当且仅当x=2时“=”成立,
因取条件不同,
故g(x)>﹣20.
22. 已知函数.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若对所有都有,求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)最小值;(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)由导数的应用,研究函数的单调性,再求其最值,
(Ⅱ)构造函数,由导数的应用求函数的最值即可得解.
【详解】解:(Ⅰ)的定义域为,的导数. 令,
解得;令,解得.从而在单调递减,在单调递增.
所以,当时,取得最小值.
(Ⅱ)依题意,得在上恒成立,即不等式对于恒成立.
令, 则. 当时,因为,
故是上的增函数,所以的最小值是,
从而的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式,属中档题.