浙江省杭州市市延安中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,求z=的范围( )
A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用目标函数的几何意义.
【解答】解:z==2×,
设k=,则k的几何意义是点(x,y)到定点D(﹣1,) 的斜率,
作出不等式组对应的平面区域如图:
由图象可知AD的斜率最大,BD的斜率最小,
由,解得,即A(1,3),此时k==,z最大为2k=2×=,
由,解得,即B(3,1),此时k==,z最大为2k=2×=,
故z=的范围是[,],
故选:A
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的计算,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
2. 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此棱锥的体积为( )
A、; B、; C、 ; D、
参考答案:
A
略
3. 下列函数中,在上为增函数的是( )
A B C D
参考答案:
B
略
4. 设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是( ).
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞, -1) ∪(1,+ ∞)
C.(-,0)∪(0,) D. (-∞, -) ∪(,+ ∞)
参考答案:
A
解:如图,轴于点,,,点在轴上,由射影定理得,,,
解得,
解得,则,即且.
故选.
5. 直线的倾斜角是( ).
A. 40° B. 50° C. 130° D. 140°
参考答案:
B
6. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是( )
A.至少有1名男生与全是女生 B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生 D.恰有1名男生与恰有2名女生
参考答案:
D
略
7. 在中,,则等于
A.30° B. 60°
C.60°或120° D. 30°或150
参考答案:
C
8. 给出以下四个数:6,-3,0,15,用冒泡排序法将它们按从大到小的顺序排列需要经过几趟( )
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案:
C
9. 已知等差数列的前项和为,若( )
A.72 B.68 C.54 D.90
参考答案:
A
10. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直,若数列的前n项和为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在直三棱柱中,.有下列条件:
①;②;③.其中能成为
的充要条件的是(填上该条件的序号)________.
参考答案:
①③
12. 设{an}是首项为,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若成等比数列,则的值为__________.
参考答案:
.
试题分析:依题意得,∴,解得.
考点:1.等差数列、等比数列的通项公式;2.等比数列的前项和公式.
13. ▲ .
参考答案:
略
14. 双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
参考答案:
2
15. 已知椭圆的离心率,分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,则直线PA的斜率为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆的离心率e====,求得a=2b,椭圆方程为:,整理得: =﹣,则tanα=,tanβ=,tanα?tanβ=?==﹣,由tanα+tanβ=1,tanα,tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,x=,则tanα=,即可求得直线PA的斜率.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),B(a,0),P(x,y),
椭圆的离心率e====,
整理得:a=2b,
∴椭圆方程为:,
∴y2=,则=﹣,
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,
∴kPA=tanα=,kPB=tanβ=,
∴tanα?tanβ=?==﹣,
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,
∴tanα,tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,
解得:x=,
∴直线PA的斜率kPA=tanα=,
故答案为:.
16. 如图,是上的两点,且,,为中点,连接并延长交于点,则 .
参考答案:
17. 若直线,始终平分圆的周长,则的最小值为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设,.
(1)当时,若的展开式可表示为
,求;
(2)若展开式中的系数是20,则当取何值时,系数最小,最小为多少?
参考答案:
解:(1)令,得=.……6分
(2)因为,………………………………………………………8分
所以,则的系数为
,……………………10分
所以当m=5,n=10时,展开式中的系数最小,最小值为85.………………………13分
略
19. 函数f(x)=2cosx(x∈[﹣π,π])的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】3O:函数的图象.
【分析】由f(﹣x)=2cos(﹣x)=2cosx=f(x),得出f(x)为偶函数,则图象关于y轴对称,排除A、D,再令x=π代入f(x)的表达式即可得到答案.
【解答】解:∵f(﹣x)=2cos(﹣x)=2cosx=f(x),∴f(x)为偶函数,则图象关于y轴对称,排除A、D,
把x=π代入得f(π)=2﹣1=0.5,故图象过点(π,0.5),C选项适合,
故选:C.
20. (本小题满分13分)
椭圆 的一个顶点是 ,且离心率为 ,圆 , 是过点P且互相垂直的两条直线,其中直线 交圆 于A,B两点,直线 与椭圆 的另一交点为D.
(I)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线 的方程.
参考答案:
21. (12分)已知抛物线E:x2=2py(p>0),直线y=kx+2与E交于A、B两点,且?=2,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为(0,﹣2),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,证明:k12+k22﹣2k2为定值.
参考答案:
22. (本题满分12分)
气象台A处向西300千米处有一个台风中心,若台风以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都处在台风圈内,问:气象台A处在台风圈内的时间大约多长?
(提示:以现在台风中心位置点O为原点,以台风中心O点和气象台位置A点连线为轴,建立如图所示坐标系)
参考答案:
解:建立如图所示坐标系,
以点A为圆心,
半径为250千米的圆的方程为
台风移动路线直线的方程为
(),--------------------------------------------------------------------2分
显然只要直线与圆A有交点,点A就处在台风圈内,A处就受到影响。------4分
由 得--------------------6分
因为⊿
所以直线BC与圆A相交,有两个交点B、C,--------------------------8分
又
所以-------------------------10分
所以A处受台风影响的时间为小时,即大约6小时37分钟。--------------12分