河南省商丘市黄岗乡中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 给出下列四个命题，其中假命题的序号是（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 ③若一个平面内有两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行 ④与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线． A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 参考答案： A 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】①，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行； ②，利用直线与平面的基本性质判断A的正误； ③，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行‘’ ④，根据空间两条直线的位置关系分别判断即可． 【解答】解；对于①，在同一平面垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行，故①错 对于②，如图：∵a∩b=A，b∩c=B，a∩c=C，∴由两条相交直线a、b确定一个平面，不妨记为α， ∴a?α，b?α；又∵C∈a，B∈b，∴B∈α，C∈α；又∵B∈c，C∈c， ∴c?α；∴a、b、c三条直线共面．所以②正确． 对于③，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行， 那么这两个平面互相平行，故③错 对于④：如图（1）a、b是异面直线，c、d与a、b都相交，但是cd是相交直线，所以A不正确； 如图（2）c、d是异面直线，所以C不正确； 如果c、d 平行则c、d确定唯一平面，所以a、b都在这个平面内，与a、b是异面直线矛盾，所以④不正确． 故选：A 【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，异面直线的判断，考查空间想象能力．属于中档题． 2. 椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 (         ) A.            B.           C.            D. 参考答案： B 略 3. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是(　　) A．8                               B．5 C．3                               D．2 参考答案： C 4. 复数z满足, 则等于（　　） A．                   B． C．                 D． 参考答案： A 略 5. 命题“存在”的否定是                （     ） A． 存在     B．不存在 C． 对任意   D．对任意 参考答案： D 略 6. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2011棵树所在的点的坐标是（   ）   A. ；    B. ；   C.；     D. 参考答案： A 略 7. 已知命题p、q，如果?p是?q的充分而不必要条件，那么q是p的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据逆否命题的等价性即可得到结论． 【解答】解：∵?p是?q的充分而不必要条件， ∴根据逆否命题的等价性可知，q是p的充分而不必要条件， 故选B． 8. 已知函数,当自变量由变化到时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数    A、在处的变化率                  B、在区间上的平均变化率    C、在处的变化率                  D、以上结论都不对 参考答案： B 略 9. “﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．冲要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】解方程，求出方程的根，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由x2﹣x﹣2=0，解得：x=2或x=﹣1， 故“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是一道基础题． 10. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是(　　) A．8                                B．5 C．3                                D．2 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 15. （几何证明选讲选做题）如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_________. 参考答案： 12. 若直线（为实常数）与函数 (为自然对数的底数) 的图象相切，则切点坐标为   ▲    ． 参考答案： 13. 设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则________. 参考答案： 14. 抛物线x2=4y的焦点坐标为　     　． 参考答案： （0，1） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标． 【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴ ∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1） 故答案为：（0，1） 15. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则___ . 参考答案： 2059 【分析】 将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。 【详解】将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示： 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为， 设位于第，则，所以，， 且第行最后一项在数列中的项数为， 所以，位于杨辉三角数阵的第行第个， 第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为， 因此，          ，故答案为：。 【点睛】本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。     16. 在ΔABC中，AB=3，BC=4，CA=6，则CA边上的中线长为_____________。 参考答案： 17. 已知抛物线的顶点在坐标原点，且焦点在轴上．若抛物线上的点到焦点的距离是5，则抛物线的准线方程为      ．    参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 参考答案： 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 .-------2分 故长方体的体积为 ---------4分 从而---------------6分 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.------7分 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，--------9分 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝9×12-—6×13=3(m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.---11分 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大， 最大体积为3 m3。-----------12分 略 19. 已知圆． （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆的弦的中点，求所在直线方程． 参考答案： 解：由得圆的标准方程为   …………2分 （1）显然为圆的切线．                         ……………………………4分 另一方面，设过的圆的切线方程为，即； 所以解得 于是切线方程为和．            ……………………………7分 （2）设所求直线与圆交于两点，其坐标分别为 则有       两式作差得  ……………………………10分 因为，     所以           故所求直线方程为                       ……………………………15分   20. 设函数f（x）=2xlnx﹣1． （1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题． 【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间，可得极值、最值；求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线方程； （2）由题意可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，求解最大值，即可求解a的取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=2xlnx﹣1的导数为f′（x）=2（lnx+1）， 当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减． 即有x=取得极小值，也为最小值，且为﹣﹣1； 可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2， 切点为（1，﹣1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1）， 即为2x﹣y﹣3=0； （2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立， 可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立， 设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣， h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去）， 当0＜x＜1时，h′（x）＞0， 当x＞1时，h′（x）＜0， ∴当x=1时，h（x）max=﹣2， ∴a≥﹣2， ∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）． 21. （本小题满分12分）设关于的函数，其中为实数集上的常数，函数在处取得极值. （Ⅰ）已知函数的图象与直线有两个不同的公共点，求实数的取值范围； （Ⅱ）设函数，其中，若对任意的，总有成立，求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）  因为函数在处取得极值 得： 解得………………………………3分 则 令得或（舍去） 当时，；当时，. 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以当时，函数取得极大值， 即最大值为 ……………………………5分 所以当时，函数的图象与直线有两个交点………………6分 （Ⅱ）设 若对任意的，恒成立， 则的最小值()……………………………8分   （1）当时,,在递增 所以的最小值，不满足()式 所以不成立…………………………………………10分 （2）当时 ①当时，，此时在递增， 的最小值，不满足()式 ②当时，，在递增， 所以，解得 ，此时满足()式 ③当时，在递增，，满足()式 综上，所求实数的取值范围为…………………………