湖南省岳阳市鹤龙湖中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 不等式的解集为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 已知函数,则“”是“为偶函数”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【分析】
根据充分条件与必要条件的定义,结合函数奇偶性的定义和性质,进行判断即可.
【详解】若,则为偶函数;
当,时,为偶函数,但不成立;
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选B
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,熟记定义即可,属于基础题型.
3. 直线恒过一定点,则该定点的坐标( )
A B C D
参考答案:
B
4. 设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( )
A.B.C.D.
参考答案:
C
【考点】平均值不等式;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】设底边边长为a,高为h,利用体积公式V=Sh=a2×h,得出 h=,再根据表面积公式得S=+a2,最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得.
【解答】解:设底边边长为a,高为h,则V=Sh=a2×h,
∴h=,
表面积为S=3ah+a2
=+a2
=++a2
≥3=定值,
等号成立的条件,即a=,
故选C.
5. 已知、取值如下表:
0
1
4
5
6
8
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则( )
A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80
参考答案:
B
6. 现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若,,则p=( )
A. 0.16 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.84
参考答案:
C
【分析】
由求出p的范围,再由方差公式求出p值.
【详解】∵,∴,化简得,即,又,解得或,∴,故选C.
【点睛】本题考查概率公式与方差公式,掌握这两个公式是解题的关键,本题属于基础题.
7. 直线的斜率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 在的二项展开式中,若中间项的系数是,则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 下列函数中,值域为的是 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
10.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 三名学生参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目,则恰有两人选择的项目完全相同的概率是 . .
参考答案:
.
12. 复数的共轭复数 。
参考答案:
略
13. 已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为 ▲ .
参考答案:
14. 已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的最大值与最小值的和为__________.
参考答案:
15. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成的角的大小为 .
参考答案:
16. .三角形的一边长为14,这条边所对的角为,另两边之比为8:5,则这个三角形的面积为_________.
参考答案:
略
17. 给出命题:“若b=3,则b2=9”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 .
参考答案:
1
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】判断原命题和逆命题的真假,根据互为逆否的两个命题真假性相同,可得答案.
【解答】解:命题:“若b=3,则b2=9”,故其逆否命题为真命题,
其逆命题为:“若b2=9,则b=3”,为假命题,
故其否命题为假命题,
故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是1个,
故答案为:1;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面AA1B1B,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线A1B1与平面BB1C1C所成角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)如图做辅助线,D为AB中点,连,,由是等边三角形可知,,且,则是等边三角形,,故平面,平面,那么得证。(Ⅱ)建立空间直角坐标系以D为原点,先根据已知求平面的一个法向量,再求向量,设直线与平面所成的角为,则,计算即得.
【详解】(Ⅰ)取中点,连,因为,
所以,所以平面因为平面
所以 .
(Ⅱ)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
可得, ,,,
设平面的一个法向量为
则,而.
所以.又,设直线与平面所成的角,
则
19. (本小题满分l3分)
在各项均为正数的等比数列{}中,已知a2=a1+2,且2a2,a4,3a3成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设,求数列{}的前n项和Sn。
参考答案:
20. 已知函数(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,B为锐角,且f(B)=,AC=4,D是BC边上一点,AB=AD,试求△ADC周长的最大值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.
【专题】计算题;三角函数的图像与性质;解三角形.
【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=.由,可得单调递增区间.
(2)由得.又,则可求得,由AB=AD可求得:AD+DC=BD+DC=BC,又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC.由,可得.故可得周长最大值.
【解答】解:(1)===.
由,得(k∈Z).
∴单调递增区间为,k∈Z
(2)由得.又,则,
从而,
∴.
由AB=AD知△ABD是正三角形,AB=AD=BD,
∴AD+DC=BD+DC=BC,
在△ABC中,由正弦定理,得,即BC=8sin∠BAC.
∵D是BC边上一点,
∴,
∴,知.
当时,AD+CD取得最大值8,周长最大值为.
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用,综合性较强,属于中档题.
21. 年级组长徐老师为教育同学们合理使用手机,在本年级内随机抽取了30名同学做问卷调查.经统计,在这30名同学中长时间使用手机的同学恰占总人数的,长时间使用手机且年级名次200名以内的同学有4人,短时间用手机而年级名次在200名以外的同学有2人.
(Ⅰ)请根据已知条件完成2×2列联表;
长时间用手机
短时间用手机
总计
名次200以内
名次200以外
总计
(Ⅱ)判断我们是否有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”
【附表及公式】
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
参考答案:
【考点】BO:独立性检验的应用.
【分析】(Ⅰ)根据题意,填写列联表即可;
(Ⅱ)根据表中数据,计算观测值,对照临界值得出结论.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下;
长时间用手机
短时间用手机
总计
名次200以内
4
8
12
名次200以外
16
2
18
总计
20
10
30
(Ⅱ)根据表中数据,计算,
对照临界值P(K2≥6.635)=0.01,
所以,有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”.
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.
22. APEC是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织,其宗旨和目标是“相互依存、共同利益,坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度,随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分别为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]).
(1)求选取的市民年龄在[30,35)内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
参考答案:
(1)30人;(2).
【分析】
(1)由频率分布直方图,先求出年龄在内的频率,进而可求出人数;
(2)先由分层抽样,确定应从第3,4组中分别抽取3人,2人,记第3组的3名志愿者分别为,第4组的2名志愿者分别为,再用列举法,分别列举出总的基本事件,以及满足条件的基本事件,基本事件个数比即为所求概率.
【详解】(1)由题意可知,年龄在内的频率为,
故年龄在内的市民人数为.
(2)易知,第4组的人数为,故第3,4组共有50名市民,
所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者,
每组抽取的人数分别为:第3组;第4组.
所以应从第3,4组中分别抽取3人,2人.
记第3组的3名志愿者分别为,第4组的2名志愿者分别为,则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为,,,,,,,,,,共有10种.
其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被选中的有:,,,,,,,共有7种,
所以至少有一人的年龄在内的概率为.
【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求频数,以及古典概型的概率问题,会分析频率分布直方图,熟记古典概型的概率计算公式即可,属于常考题型.