2022年江苏省南京市溧水县永阳中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
参考答案:
D
2. 不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 关于的不等式对恒成立,则实数的取值范围是
A.(-∞, 0) B.(-∞,0)∪
C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪
参考答案:
C
略
4. 若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
参考答案:
A
设圆心为O,则O(1,0),所以,所以所求直线的斜率为1,所以所求直线方程为。
5. 若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则E(3X+2)和D(3X+2)的值分别是( )
A. 4和2 B. 4和4 C. 2和4 D. 2和2
参考答案:
A
略
6. 函数的部分图象如图所示,则=( )
A.6 B.4 C. D.
参考答案:
A
7. 根据如图所示的程序框图,当输入的x值为3时,输出的y值等于( )
A. 1 B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据程序图,当x<0时结束对x的计算,可得y值。
【详解】由题x=3,x=x-2=3-1,此时x>0继续运行,x=1-2=-1<0,程序运行结束,得,故选C。
【点睛】本题考查程序框图,是基础题。
8. 如果命题“”是假命题,“”是真命题,那么( )
A. 命题p一定是真命题 B. 命题q一定是真命题
C. 命题q一定是假命题 D. 命题q可以是真命题也可以是假命题
参考答案:
D
【分析】
本题首先可以根据命题“”是假命题来判断命题以及命题的真假情况,然后通过命题“”是真命题即可判断出命题的真假,最后综合得出的结论,即可得出结果。
【详解】根据命题“”是假命题以及逻辑联结词“且”的相关性质可知:
命题以及命题至少有一个命题为假命题,
根据“”是真命题以及逻辑联结词“非”的相关性质可知:
命题是假命题,
所以命题可以是真命题也可以是假命题,故选D。
【点睛】本题考查命题的相关性质,主要考查逻辑联结词“且”与“非”的相关性质,考查推理能力,考查命题、命题、命题以及命题之间的真假关系,是简单题。
9. 已知2sin2α=1+cos2α,则tan(α+)的值为( )
A.﹣3 B.3 C.﹣3或3 D.﹣1或3
参考答案:
D
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系,结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可.
【解答】解:∵2sin2α=1+cos2α,
∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1,
即2sinαcosα=cos2α,
①当cosα=0时,,此时,
②当cosα≠0时,,此时,
综上所述,tan(α+)的值为﹣1或3.
故选:D.
10. 设,则二项式的展开式的常数项是( )
A. -160 B. -80 C. 80 D. 160
参考答案:
B
【分析】
求出定积分的值,然后求出二项式的展开式的通项公式,然后化简,让的指数为零,最后求出常数项.
【详解】,,
所以,令,所以常数项为,故本题选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积,则集中元素个数的最大值为 .
参考答案:
31
解析:从中每次取一对作乘积,共得个值,但其中有重复,重复的情况为,共种,因此集合中至多有 个数
12. 若数列中,则。
参考答案:
略
13. 若存在实数满足,则实数a的取值范围是 。
参考答案:
(,5)
略
14. 若对于任意实数x,|x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立,则实数a的最小值为 .
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】利用绝对值的几何意义求解.
【解答】解:由题意:|x+a|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到﹣a对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离,
故它的最大值为|a﹣1|.
由于对于任意实数x,有|x+a|﹣|x+1|<2a恒成立,可得|a﹣1|<2a,
解得:a.
∴实数a的最小值为:.
故答案为:.
【点评】本题考查了绝对值的几何意义.属于基础题.
15. 在直角坐标系xOy中,圆O的方程为,将其横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线C,则曲线C的普通方程为_____.
参考答案:
【分析】
根据题意,设P为曲线C上任意一点,分析可得其对应圆O上的点的坐标为(x,y),又由圆O的方程为x2+y2=1,分析可得答案.
【详解】根据题意,设为曲线上任意一点,则对应圆上的点的坐标为,
又由圆的方程为,则有;
即曲线的普通方程为;
故答案为:.
【点睛】本题考查直角坐标系下的伸缩变化,注意伸缩变化的公式,属于基础题.
16. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的一些性质:?“各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角相等;?各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等;?各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任何两条棱的夹角相等。你认为比较恰当的是
参考答案:
②
17. 函数在区间上的最大值是4,则= .
参考答案:
-3或
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点(1,e)和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设a>2,B1,B2分别是线段OF1,OF2的中点,过点B1作直线交椭圆于P,Q两点.若PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)将(1,e)和代入椭圆方程,即可求得a和b的值,即可求得椭圆的方程;
(Ⅱ)由a>2,求得椭圆的方程,设PQ方程为x=my﹣1,代入椭圆方程,则由PB2⊥QB2,,利用韦达定理求得:m2=4,利用弦长公式及三角形的面积公式△PB2Q的面积.…
【解答】解:(Ⅰ)因为(1,e)和在椭圆上,且,
∴,…
由(1)得b2=1,…
带入(2)整理得4a4﹣25a2+25=0,解得a2=5或,
∴椭圆的方程为,或者.…
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c2=5﹣1=4,
∴F1(﹣2,0),F2(2,0),B1(﹣1,0),B2(1,0).…
由题意知PQ的斜率不为0,设PQ方程为x=my﹣1,
联立方程,…
设P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得…
∵,且PB2⊥QB2,
则,…
∴(my1﹣1)(my2﹣1)﹣(my1﹣1+my2﹣1)+1+y1y2,
=(m2+1)y1y2﹣2m(y1+y2)+4,
=,
∴m2=4,…
∴,
∴,
∴.…
19. 在平面直角坐标系中,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(Ⅱ)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
参考答案:
解:(1)由题意知抛物线焦点为(1,0),
设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4,
∴·=x1x2+y1y2
=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3.
(2)证明:设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
∴·=x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
∴若·=-4,则直线l必过一定点(2,0).
20. 对某种电子元件的使用寿命进行调查,抽样200个检验结果如表:
寿命(h)
个数
20
30
80
40
30
⑴补充频率分布表;
⑵画出频率分布直方图以及频率分布折线图;
⑶根据频率分布直方图,求这种电子元件的众数、中位数.
参考答案:
19、解:(1) (2)
分组
频数
频率
20
0.1
30
0.15
80
0.4
40
0.2
30
0.15
合计
200
1.00
(3)众数为350,中位数为。
略
21. 在等比数列中,,
(1)和公比;
(2)前6项的和.
参考答案:
(1)在等比数列中,由已知可得:
解得: 或
(2) 当时, .
当时,
略
22. 已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递减,求满足f(x2+2x+3)>f(﹣x2﹣4x﹣5)的x的集合.
参考答案:
【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用偶函数的性质及f(x)在(﹣∞,0)上单调性,把f(x2+2x+3)>f(﹣x2﹣4x﹣5)转化为关于x2+2x+3、﹣x2﹣4x﹣5的不等式,解出即可.
【解答】解:因为f(x)为R上的偶函数,所以f(x2+2x+3)=f(﹣x2﹣2x﹣3),
则f(x2+2x+3)>f(﹣x2﹣4x﹣5)即为f(﹣x2﹣2x﹣3)>f(﹣x2﹣4x﹣5).
又﹣x2﹣2x﹣3<0,﹣x2﹣4x﹣5<0,且f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,
所以﹣x2﹣2x﹣3<﹣x2﹣4x﹣5,即2x+2<0,解得x<﹣1.
所以满足f(x2+2x+3)>f(﹣x2﹣4x﹣5)的x的集合为{x|x<﹣1}.
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性,解决本题的关键是综合应用奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”.