福建省福州市东张中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 当时,用秦九韶算法计算多项式的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A. 6,6 B. 5,6 C. 5,5 D. 6,5
参考答案:
A
2. 在三角形ABC中,A、B、C的对应边分别是a、b、c,若acos C=ccos A,且a、b、c成等比,则三角形ABC是
A.等边三角形 B.直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
参考答案:
A
∵sin Acos C=sin Ccos Asin(A-C)=0A=Ca=c,由b2=ac,故a=b=c,选A.
3. 将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为
A、 B、
C、 D、
参考答案:
D
4. 已知条件:,条件:圆与圆相切,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
略
5. 由直线y=2x及曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为( )
A.2 B.9-2 C. D.
参考答案:
D
注意到直线y=2x与曲线y=3-x2的交点A,B的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结选D.
6. 设是椭圆E: 的左右焦点,P在直线上一点,是底角为的等腰三角形,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知直线与抛物线相交于两点,F为抛物线的焦点,若,则k的值为( )。
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
10. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.3
参考答案:
C
【考点】余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】将“c2=(a﹣b)2+6”展开,另一方面,由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC,比较两式,得到ab的值,计算其面积.
【解答】解:由题意得,c2=a2+b2﹣2ab+6,
又由余弦定理可知,c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,
∴﹣2ab+6=﹣ab,即ab=6.
∴S△ABC==.
故选:C.
【点评】本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之一,高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2} ,B={2,3},则CU(A∪B)= _______。
参考答案:
{4}
由,得:,则,故答案为.
12. 已知点(﹣4,0)是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点,则k= .
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的焦点坐标,列出方程求解即可.
【解答】解:点(﹣4,0)是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点,
可得:,
解得k=.
故答案为:.
13. 设F1,F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则
的面积等于 ▲ .
参考答案:
24
【分析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|=10,再由3|PF1|=4|PF2|,求出|PF1|=8,|PF2|=6,由此能求出△PF1F2的面积.
【详解】双曲线的两个焦点F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10,
由3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|=x,
由双曲线的性质知x﹣x=2,解得x=6.
∴|PF1|=8,|PF2|=6,
∵|F1F2|=10,∴∠F1PF2=90°,
∴△PF1F2的面积=×8×6=24.
故答案为:24.
【点睛】本题考查双曲线的性质和应用,考查三角形面积的计算,属于基础题.
14. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离,则点的轨迹方程是 ▲ .
参考答案:
略
15. 在 中,,求的面积________ 。
参考答案:
略
16. 三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为 .
参考答案:
略
17. 已知中,分别为内角的对边,且,则______.
参考答案:
,∴利用余弦定理可得,整理可得:,
∴由余弦定理可得:,故答案为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=BC,D、E、F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:EF∥平面A1CD;
(2)证明:平面A1CD⊥平面ABB1A1.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD;
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【解答】证明:(1)连结DE,
∵D,E分别是AB,BC的中点
∴DE∥AC,DE=AC,
∵F为棱A1C1的中点.
∴A1F=A1C1,
∴A1F∥AC,
即DE∥A1F,DE=A1F,
∴四边形A1DEF为平行四边形,
∴A1D∥EF
又∵EF?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
∴EF∥平面A1CD.
(2)∵A1A⊥平面ABC,CD?平面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AC=BC,D为AB的中点,
∴AB⊥CD,
∵A1A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB1A1
∵CD?平面A1CD,
∴平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定,要求熟练掌握相应的判定定理.
19. 函数
(1)若函数在内有两个极值点,求实数a的取值范围;
(2)若不等式在上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1) 或.(2)
【分析】
(1)先对函数求导、然后因式分解,根据函数在在内有两个极值点列不等式组,解不等式组求得的取值范围.(2)先对函数求导并因式分解.对分成三种情况,利用的单调性,结合不等式在上恒成立列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
【详解】解:(1)由题意知,.
有得: 或.
(2).
①当时,,符合题意.
②当时,令,得或,
此时函数的增区间为,减区间为.
此时只需:
解得:或,故.
③当时,令,得或,
此时函数的增区间为,,减区间为,
此时只需:解得:,故,
由上知实数a的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值,考查利用导数求解不等式恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,综合性很强,属于难题.
20. (普通班).(本小题满分12分)
已知数列满足.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
参考答案:
21. (本小题满分14分)
数列{an}满足Sn=2n+2an(n∈N*).
(1)计算a1、a2、a3,
(2)有同学猜想an=;请根据你的计算确定的值,并用数学归纳法证明。
参考答案:
(1)当n=1时,a1=S1=2+2a1,∴a1=-2 ……………………1分
当n=2时,a1+a2=S2=2×2+2a2,∴a2=-6 ……………………2分
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3+2a3,∴a3=-14 ……………………3分
当n=4时,a1+a2+a3+=S4=2×4+2a4,∴a4=-30 ……………………4分
(2)=n+1,由此猜想an= (n∈N*) ………………7分
证明:①当n=1时,a1=-2,结论成立, ……………………8分
②假设n=k(k≥1,且k∈N*)时,猜想成立,
即ak=成立,
当n=k+1时, ……………………9分
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)+2ak+1-2k-2ak=2-2ak+2ak+1,
∴ak+1=-2+2ak=-2+2()=2-
即,当n=k+1时,猜想成立, ……………………12分
根据,①和②对于一切的自然数n∈N*,猜想成立. ……………………14分
22. (本题满分10分)命题关于的不等式,对一切恒成立,:函数是增函数。若或为真,且为假,求实数的取值范围
参考答案:
p为真:△=4-16<0 -2<<2, q为真:3-2>1 <1 .2分
因为p或q为真,p且q为假 p,q一真一假 .4分
当p真q假时, 1≤ .6分
当p假q真时, .8分
的取值范围为 .10分