浙江省宁波市荣安实验中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D,在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,又测得∠CBD=30°,CD=50米,则塔高AB=( )
A.50米 B.25米 C.25米 D.50米
参考答案:
A
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】设AB=am,则BC=am,BD=am,根据∠CBD=30°,CD=50米,利用余弦定理建立方程,即可得出结论.
【解答】解:设AB=am,则BC=am,BD=am,
∵∠CBD=30°,CD=50米,
∴2500=a2+3a2﹣2a,
∴a=50m.
故选A.
2. 用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①,这与三角形内角和为相矛盾,不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角、、中有两个直角,不妨设;正确顺序的序号为 ( )
A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③①
参考答案:
B
3. 设则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. “”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
6. 若,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 设向量,均为单位向量,且||,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由计算出.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
并参照附表,得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
参考答案:
A
9. 若,则下列不等式中不成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是( )
A.y=cos2x B.y=lg|x| C.y=﹣x D.y=
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可.
【解答】解:A.y=cos2x是偶函数,在定义域上是单调递减,不满足条件.
B.y=lg|x|是偶函数,不满足条件.
C.y=﹣x是奇函数,在定义域上是奇函数,满足条件.
D.y=是奇函数,在定义域{x|x≠0}上不单调,不满足条件.
故选:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b﹣a),这里,x被称为乐观系数.
经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,据此可得,最佳乐观系数x的值等于 .
参考答案:
【考点】数列的应用.
【分析】根据题设条件,由(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,知[x(b﹣a)]2=(b﹣a)2﹣x(b﹣a)2,由此能求出最佳乐观系数x的值.
【解答】解:∵c﹣a=x(b﹣a),b﹣c=(b﹣a)﹣x(b﹣a),
(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,
∴[x(b﹣a)]2=(b﹣a)2﹣x(b﹣a)2,
∴x2+x﹣1=0,
解得,
∵0<x<1,
∴.
故答案为:.
12. 在三棱锥中,侧棱两两互相垂直,面积分别为则三棱锥的外接球的体积为
参考答案:
略
13. 函数的单调递减区间为____________.
参考答案:
(0,1]
14. 函数的导数 ,
参考答案:
15. 如图,一个空间几何体的主视图,左视图都是面积为,且一个内角为的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为__________;体积为__________.
参考答案:
;.
解:几何体由两个相同的正四棱锥组成,
∵正视图,侧视图都是面积为,一个内角为的菱形,
∴菱形的边长为,
且正四棱锥的底面边长为,
侧面底边长为,斜高为,
侧棱长为,
∴几何体的表面积为,
体积
.
16. 定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对任意x∈(0,+∞),f[f(x)﹣log2x]=3成立,若方程f(x)﹣f'(x)=2的解在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .
参考答案:
1
【考点】函数零点的判定定理;函数与方程的综合运用.
【分析】设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得t的值,可得f(x)的解析式,由二分法分析可得h(x)的零点所在的区间为(1,2),结合函数的零点与方程的根的关系,即可得答案.
【解答】解:根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣log2x]=3,
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
则f(x)﹣log2x为定值,
设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,
又由f(t)=3,即log2t+t=3,
解可得,t=2;
则f(x)=log2x+2,f′(x)=,
将f(x)=log2x+2,f′(x)=代入f(x)﹣f′(x)=2,
可得log2x+2﹣=2,
即log2x﹣=0,
令h(x)=log2x﹣,
分析易得h(1)=<0,h(2)=1﹣>0,
则h(x)=log2x﹣的零点在(1,2)之间,
则方程log2x﹣=0,即f(x)﹣f′(x)=2的根在(1,2)上,
故答案为:1.
17. 如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图,从图中看,平均成绩较高的是 ▲ 班.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,△ABD和△BCD均为等边三角形,AB=2,AC=.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
【专题】证明题.
【分析】(1)欲证AO⊥平面BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直,连接OC,而AO⊥BD,AO⊥OC.∵BD∩OC=O,满足定理条件;
(2)过O作OE⊥BC于E,连接AE,根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角,在Rt△AEO中求出此角即可.
【解答】解:(1)证明:连接OC,∵△ABD为等边三角形,O为BD的中点,
∴AO⊥BD.∵△ABD和△CBD为等边三角形,
O为BD的中点,AB=2,,
∴.
在△AOC中,∵AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90o,即AO⊥OC.∵BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(2)过O作OE⊥BC于E,连接AE,∵AO⊥平面BCD,
∴AE在平面BCD上的射影为OE.
∴AE⊥BC.∴∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角.
在Rt△AEO中,,,
,
∴.∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为.
【点评】本小题主要考查直线与平面垂直的判定,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.
19. 已知直线经过直线与的交点,且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍,求直线的方程.
参考答案:
略
20. 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=x﹣1与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求线段MN的长度.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由已知椭圆的一个顶点,离心率列出方程组,解得b的值,则椭圆C的标准方程可求;
(2)联立直线方程和椭圆方程,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系得到M,N两点横坐标的和与积,代入弦长公式得答案.
【解答】解:(1)∵椭圆一个顶点A(2,0),离心率为,
∴,解得.
∴椭圆C的方程为;
(2)联立,消去y得3x2﹣4x﹣2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则,
∴
==.
21. 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.
已知∠ABC=45°,AB=2,BC=,SA=SB=
(Ⅰ)证明:SA⊥BC;
(Ⅱ)求二面角S—AD—C的正切值;(13分)
参考答案:
解析:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面,得
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,
∴,得.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题得,
故,
∴二面角S—AD—C的平面角为∠SAO
由,,得,,∴(13分)
22. 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9:1.
(Ⅰ)求展开式中各项二项式系数的和;
(Ⅱ)求展开式中中间项.
参考答案:
(Ⅰ)64;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值,然后可求各项二项式系数的和;
(Ⅱ)根据的值确定中间项,利用通项公式可求.
【详解】解:(Ⅰ)由题意知,展开式的通项为:
,且,
则第五项的系数为,第三项的系数为,
则有,
化简,得,解得,
展开式中各项二项式系数的和;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,展开式共有7项,中间项第4项,令,得.
【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解,通项公式是求解这类问题的钥匙,侧重考查数学运算的核心素养.