福建省福州市西畴县职业高级中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式,对一切x恒成立,则a的取值范围是
A . B.(-2 ,2] C.(-2,2) D.(
参考答案:
B
2. 若(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
参考答案:
B
3. 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少与( ).
A.38400元 B.36000元 C.36800元 D.31200元
参考答案:
C
本题主要考查线性规划的实际应用.
根据题意列出约束条件为,
且目标函数为,作出可行域如下:
据图可知当目标函数直线经过时取得最大值,
故租金至少为元.
4. 右图是函数在一个周期内的图象,此
函数的解析式可为
. .
. .
参考答案:
.
由于最大值为,所以;又
∴,将代入得,
结合点的位置,知,∴函数的解析式为可为;
故选.
5. 下列选项叙述错误的是
A.命题“若,则”的逆否命题是“若,则”
B.若命题:,则:
C.若为真命题,则,均为真命题
D.“”是“”的充分不必要条件
参考答案:
C
6. “a=b”是“a2=b2”成立的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)
参考答案:
充分不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
【解答】解:若a2=b2,则a=b或a=﹣b,
即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件,
故答案为:充分不必要.
7. 设定义在上的函数的导函数满足,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由题意得构造函数,在 上0,所以
在 上单调递增,所以,即
选A.
8. 定义:,已知数列满足,若对任意正整数,都有成立,则的值为 ( )
A.2 B.1 C. D.
参考答案:
D
略
9. 设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S?A且S∩B≠的集合S的个数是( )
A.57 B.56 C.49 D.8
参考答案:
B
试题分析:若满足,那么的个数为个,但其中有的子集不满足条件,所以的子集个数为个,所以共有个,故选B.
考点:集合的子集
10. 设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知当时,在上是“凸函数”.则在上 ( )
A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
12. 当双曲线M:的离心率取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为______.
参考答案:
【分析】
求出双曲线离心率的表达式,求解最小值,求出m,即可求得双曲线渐近线方程.
【详解】解:双曲线M:,显然,
双曲线的离心率,
当且仅当时取等号,
此时双曲线M:,则渐近线方程为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法,考查基本不等式的应用,属于基础题.
13. 已知椭圆x2+3y2=9的左焦点为F1,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点D是线段PF1的中点,则△F1OD的周长为 .
参考答案:
3+
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆的方程求出a、b、c,画出图形,利用椭圆的性质以及椭圆的定义,求解即可.
【解答】解:椭圆x2+3y2=9,可得a=3,b=,∴c=.由题意可知如图:
连结PF2,点D是线段PF1的中点,可得ODPF2,
有椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,
∴|DF1|+|DO|=a=3.
△F1OD的周长为:a+c=3+.
故答案为:3+.
14. 经过点,且与直线平行的直线方程是 ▲ .
参考答案:
15. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点,且两曲线的一个交点为,若,则双曲线方程为 。
参考答案:
略
16. 给出下列命题:
①命题“?x∈R,x2﹣x≤0”的否命题是“?x∈R,x2﹣x>0”
②命题:“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
③命题“若a=﹣1,则函数f(x)=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题
④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
⑤若p是¬q的充分不必要条件,则¬p是q的必要不充分条件.
其中是真命题的有 (把你认为正确的命题序号都填上)
参考答案:
②⑤
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①根据特称命题的否定是全称命题进行判断,
②根据逆否命题的定义进行判断,
③根据逆命题的定义结合函数零点的定义进行判断,
④根据充分条件和必要条件的定义以及复合命题的关系进行判断,
⑤根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断.
【解答】解:①命题“?x∈R,x2﹣x≤0”的否命题是“?x∈R,x2﹣x>0”,故①错误,
②命题:“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题是若x=2且y=1时,x+y=3,为真命题,故②正确,
③命题“若a=﹣1,则函数f(x)=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是若函数f(x)=ax2+2x﹣1只有一个零点,则a=﹣1,为假命题,
当a=0时,由f(x)=2x﹣1=0,得x=,此时函数f(x)也是一个零点,故③错误,
④命题“p∨q为真”是命题,则p,q至少有一个为真,若“p∧q为真”,则p,q同时为真,则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件,故④错误,
⑤若p是¬q的充分不必要条件,q是¬p的充分不必要条件,即¬p是q的必要不充分条件.正确,故⑤正确,
故真命题是②⑤,
故答案为:②⑤
17. 已知实数满足,其中,则的最小值为 ________.
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的左,右焦点分别为,其中也是抛物线的焦点,是与在第一象限的交点,且
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆上一点,是椭圆上的两个动点,若直线的斜率与的斜率互为相反数,探求直线的斜率是否为定值?如果是,求出定值;反之,请说明理由.
参考答案:
解:(I)设
由抛物线定义,[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
M点C1上,
舍去.
椭圆C1的方程为
(II)设直线的方程为代人椭圆方程得
设 ,可得
,故
19. 某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)
(Ⅰ)应收集多少位女生样本数据?
(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(Ⅲ)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案:
【考点】独立性检验的应用;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图进行求解即可.
(Ⅱ)由频率分布直方图先求出对应的频率,即可估计对应的概率.
(Ⅲ)利用独立性检验进行求解即可.
【解答】解:(Ⅰ),所以应收集90位女生的样本数据.
(Ⅱ)由频率分布直方图得1﹣2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时,又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间
不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间
超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得
所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
20. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了4次试验,得到数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)求各样本的残差;
(3)试预测加工10个零件需要的时间.
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,
参考答案:
解:
(1)
∴所求线性回归方程为
(2) --- ---
(3)当时,,
∴预测加工10个零件需要8.05小时.
21. (12分)(2015秋?湛江校级期中)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求c的值.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】( I)由正弦定理得,结合二倍角公式及sinA≠0即可得解.
( II)由( I)可求sinA,又根据∠B=2∠A,可求cosB,可求sinB,利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC,利用正弦定理即可得解.
【解答】解:( I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A.
所以在△ABC中,由正弦定理得.
所以.
故.
( II)由( I)知,
所以.
又因为∠B=2∠A,
所以.
所以.
在△ABC中,.
所以.
【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数关系式,两角和的正弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.
22. 如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切,切点分别为、,另一圆与圆、轴及直线均相切,切点分别为、.
(I)求圆和圆的方程;(II)过点作的平行线,求直线被圆截得的弦的长度.
参考答案: