贵州省贵阳市息烽县温泉中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数满足,则的虚部为
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为( )
A.相交 B.平行 C.异面 D.重合
参考答案:
C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】把正方体的表面展开图还原成正方体,由此能求出直线MN与直线PB的位置关系.
【解答】解:把正方体的表面展开图还原成正方体,如图,
∵MN∥BD,PB∩BD=B,
∴直线MN与直线PB异面.
故选:C.
3. 已知直线与直线的交点为Q,椭圆的焦点为F1,F2,则的取值范围是( )
A. [2,+∞) B. C. [2,4] D.
参考答案:
C
【分析】
由直线与直线的交点为,得到两直线的交点满足,设,则,,进而得到,即可求解。
【详解】由椭圆的方程,可得其焦点为,
又由直线与直线的交点为,可知两直线经过分别经过定点,且两直线,
所以两直线的交点满足,
设,则,
同理可得,
所以,
当时,取得最小值2,
当时,取得最小值4,
所以的取值范围是,故选C。
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单的几何性质的应用,以及直线与圆的方程的应用,其中解答中根据直线的方程,得出点的轨迹方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题。
4. 抛物线准线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知中,,,,那么角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
7. 已知函数f(x)=mlnx+8x﹣x2在[1,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣8] B.(﹣∞,﹣8) C.(﹣∞,﹣6] D.(﹣∞,﹣6)
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,得到m≤2x2﹣8x在[1,+∞),令h(x)=2x2﹣8x,x∈[1,+∞),根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解:f′(x)=+8﹣2x=,
令g(x)=﹣2x2+8x+m,
若函数f(x)=mlnx+8x﹣x2在[1,+∞)上单调递减,
则﹣2x2+8x+m≤0在[1,+∞)成立,
则m≤2x2﹣8x在[1,+∞),
令h(x)=2x2﹣8x,x∈[1,+∞),
h′(x)=4x﹣8,令h′(x)>0,解得:x>2,
令h′(x)<0,解得:1≤x<2,
故h(x)在[1,2)递减,在(2,+∞)递增,
故h(x)min=h(2)=﹣8,
故m≤﹣8,
故选:A.
8. 已知直线l:xcosα+ycosα=2(α∈R),圆C:x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0(θ∈R),则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.与α,θ有关
参考答案:
D
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: 把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d,从而得出结论.
解答: 解:圆C:x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0(θ∈R),即(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1,圆心C(﹣cosθ,﹣sinθ),半径为r=1.
圆心C到直线l:xcosα+ycosα=2的距离为d==2+cos(θ﹣α),
当cos(θ﹣α)=﹣1时,d=r,直线和圆相切;
当cos(θ﹣α)>﹣1时,d>r,直线和圆相离,
故选:D.
点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
9. 已知x,y都为正数,且的最小值为 ( )
A.+4 B.4 C.+1 D.-1
参考答案:
A
10. 用秦九韶算法求n 次多项式,当时,求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )
A. B.n,2n,n C. 0,2n,n D. 0,n,n
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,观察下列几个不等式:;;;;……;归纳猜想一般的不等式为________ .
参考答案:
12. 若>0,>0,且,则的最小值为 .
参考答案:
4
13. 已知关于x的不等式的解集为,则实数= .
参考答案:
3
14. 由:①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形,写一个“三段论”形式的推理,则作为大前提、小前提和结论的依次为 ▲ .(写序号)
参考答案:
②③①;
15. “”是“”的 条件.
参考答案:
充分不必要
略
16. 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
17. 若(),
则= (用数字作答)。
参考答案:
2003
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四边形为矩形,且,,,为线段上的动点。
⑴当为线段的中点时,求证:;
⑵若,求二面角的余弦值。
参考答案:
⑴证明:当为中点时,,从而为等腰直角三角形
则,同理可得,
∴,于是,………2分
又,且,
∴,………………………………4分
∴………………………6分
⑵解:以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图
若,则,
.…………8分
易知向量为平面的一个
法向量……………9分
设平面的法向量为,
则应有
即 解之得,令,
从而, …………11分
,………………13分
所以二面角的余弦值为.…………14分
略
19. (12分)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
参考答案:
略
20. (本题满分10分)
若,求证: .
参考答案:
见解析
………5分
所以,原不等式得证。………………10分
21. (本题满分14分)一台机器可以按各种不同的速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件的多寡,随机器运转的速度而变化,下面表格中的数据是几次试验的结果.
(1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程;
(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10,那么机器的速度不得超过多少转/秒?提示:(以上参数和结果均精确至小数点后4位数字)
参考答案:
(1)用x表示机器速度,y表示每小时生产有问题物件数,那么4个样本数据为:(8,5)、(12,8)、(14,9)、(16,11),则=12.5,=8.25. (2分)
于是回归直线的斜率为≈0.7286,=-=-0.8575,(8分)
所以所求的回归直线方程为=0.7286x-0.8575.(10分)
(2)根据公式=0.7286x-0.8575,要使y≤10,则就需要0.7286x-0.8575≤10,x≤14.9019,即机器的旋转速度不能超过14.9019转/秒.(14分)
22. (本小题满分13分)若复数,求实数使。(其中为的共轭复数)
参考答案:
由,可知,代入得:
,即
则,解得或。