辽宁省沈阳市第七十四中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D,在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,又测得∠CBD=30°,CD=50米,则塔高AB=( )
A.50米 B.25米 C.25米 D.50米
参考答案:
A
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】设AB=am,则BC=am,BD=am,根据∠CBD=30°,CD=50米,利用余弦定理建立方程,即可得出结论.
【解答】解:设AB=am,则BC=am,BD=am,
∵∠CBD=30°,CD=50米,
∴2500=a2+3a2﹣2a,
∴a=50m.
故选A.
2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点(k , -2)与F点的距离为4,则k的值是( )
A.4 B.4或-4 C.-2 D.2或-2
参考答案:
B
由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).则抛物线的准线方程为y=,由抛物线的定义知|PF|=-(-2)=+2=4,
所以p=4,抛物线方程为x2=-8y,将y=-2代入,得x2=16,∴k=x=±4
3. 下面四个推理中,属于演绎推理的是( )
A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72015的末两位数字为43
B.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=﹣sinx,可得偶函数的导函数为奇函数
C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积之比为1:8
D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应
参考答案:
D
【考点】F7:进行简单的演绎推理.
【分析】分别判断各选项,即可得出结论.
【解答】解:选项A、B都是归纳推理,选项C为类比推理,选项D为演绎推理.
故选D.
4. 命题“若,则”的逆否命题是 ( )
A.若或 ,则 B.若,则
C. 若 则 或 D.若, 则或
参考答案:
D
略
5. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在C北偏东300,B在C南偏东600,则A、B之间相距:
A、akm B、akm C、akm D、2akm
参考答案:
C
略
6. 一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】几何体为四棱锥,底面正方形的对角线为2,棱锥的高为1,带入体积公式计算即可.
【解答】解:由三视图可知该几何体为四棱锥,棱锥的高为1,棱锥底面正方形的对角线为2,
∴棱锥底面正方形的边长为.
∴V==.
故选C.
7. 函数 ( )
A.既有最大值 ,又有最小值 B.无最大值,但有最小值
C.有最大值 ,但无最小值 D.既无最大值,又无最小值
参考答案:
A
8. 直线m、n均不在平面内,给出下列命题:
①若,则;②若,则;
③若,则;④若,则;
其中正确命题的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
D
略
9. 设f ′(x)是函数f(x)的导函数,= f ′(x)的图象如图所示,则y= f(x)的图象最有可能的是( )
参考答案:
C
10. 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为________.
参考答案:
(0,1)
12. 下列六个命题:
①是函数;②函数在区间上递减;
③函数的图象是一条直线;④是的充分不必要条件;
⑤若是虚数,则;
⑥若函数的值域是,则它的定义域一定是。
其中正确命题的序号是
参考答案:
②④
13. 若圆锥的侧面展开图是弧长为cm、半径为cm的扇形,则该圆锥的体积
为 .
参考答案:
14. 计算定积分___________。
参考答案:
略
15. 如图所示,一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的 正方形,俯视图是一个直径为2的圆,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
6π
16. 已知圆方程为:,圆的方程为:,动圆M与外切且与内切,则动圆圆心M的轨迹方程是_________________
参考答案:
17. 定义:关于的两个不等式和的解集分别为和,
则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与
不等式为对偶不等式,且,
则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,求:
(Ⅰ)D1E与平面BC1D所成角的大小;
(Ⅱ)二面角D-BC1-C的大小;
(Ⅲ)异面直线B1D1与BC1之间的距离.
参考答案:
19. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A,B.
(1)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在实数,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点:若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系;轨迹方程.
【分析】(1)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;
(2)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.
【解答】解:(1)设M(x,y),
∵点M为弦AB中点即C1M⊥AB,
∴即,
∴线段AB的中点M的轨迹的方程为;
(2)由(1)知点M的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点),且,,又直线L:y=k(x﹣4)过定点D(4,0),
当直线L与圆C相切时,由得,又,
结合上图可知当时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.
20. (本小题满分12分) 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SO⊥底面ABCD,O在CB上.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=,SA=SB,
(I)求证:平面平面
(II)求四棱锥S-ABCD的体积
(III)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.
参考答案:
(I) ,
又SO⊥底面ABCD
平面平面………………3分
(II) ,
由三面角余弦公式
,
又,所以
又因为BC=,所以为的中点,
……………7分
(III)连接OA,由(II)可知分别以OA,OB,OS为轴建立空间直角坐标系
则点
容易得平面SAB的法向量,
………………………12分
21. (16分)已知函数,.
(1)当时,若上单调递减,求a的取值范围;
(2)求满足下列条件的所有整数对:存在,使得的最大值,的最小值;
(3)对满足(2)中的条件的整数对,试构造一个定义在且上的函数:使,且当时,.
参考答案:
(1)当时,,
若,,则在上单调递减,符合题意;
若,要使在上单调递减,
必须满足 ∴.综上所述,a的取值范围是
(2)若,,则无最大值,
故,∴为二次函数,
要使有最大值,必须满足即且,
此时,时,有最大值.
又取最小值时,,
依题意,有,则,
∵且,∴,得,此时或.
∴满足条件的整数对是.
(3)当整数对是时,
,是以2为周期的周期函数,
又当时,,构造如下:当,则,
,
故
22. 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且
(1)求角C的大小:
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。
参考答案:
(1)由及正弦定理得,
是锐角三角形,
(2)由面积公式得
由余弦定理得
由②变形得