辽宁省沈阳市第六十一高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则的值为
(A)6 (B)7 (C)35 (D)20
参考答案:
C
2. 已知集合,集合=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 设的三内角A、B、C成等差数列,、、成等比数列,则这个三角形的形状是
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
C
4. 直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 已知点P(x,y)在经过A(3,0)、B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值是( )
A.2 B.4 C.16 D.不存在
参考答案:
B
【考点】基本不等式;直线的两点式方程.
【分析】由点P(x,y)在经过A(3,0)、B(1,1)两点的直线上可求得直线AB的方程,即点P(x,y)的坐标间的关系式,从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值.
【解答】解:由A(3,0)、B(1,1)可求直线AB的斜率kAB=,∴由点斜式可得直线AB的方程为:x+2y=3.
∴2x+4y=2x+22y(当且仅当x=2y=时取“=”).
故选B.
6. 已知函数的图像如图所示,的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
7. △ABC的三边a,b,c成等差数列,则角B的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】余弦定理;等差数列的通项公式.
【分析】设出三角形的三边分别为a,b,c,由三边成等差数列,利用等差数列的性质可知2b等于a+c,利用余弦定理表示出cosB,然后把b等于a+c的一半代入,利用基本不等式即可求出cosB的最小值,根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围.
【解答】解:设三角形的三边分别为a,b,c,
由三边成等差数列可知:b=,
由余弦定理得:cosB===≥=,
当且仅当a=c时取等号,
又B∈(0,π),且余弦函数在此区间为减函数,所以B∈(0,].
故选:A.
8. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为
参考答案:
D
9. 设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
D
略
10. 设全集,,,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中,至少有2个锐角”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是“___________”.
参考答案:
在一个三角形的三个内角中,至多有1个锐角
略
12. 已知△ABC为等边三角形,AB=2,设P、Q满足,,.若,则 .
参考答案:
2或-1
13. 在△ABC中,已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形的最小内角的余弦值等于 .
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7,进而可用b表示a,c,可求A为三角形的最小内角,代入余弦定理化简即可得解.
【解答】解:∵sinA:sinB:sinC=3:5:7,
∴由正弦定理可得a:b:c=3:5:7,
∴a=,c=,A为三角形的最小内角,
∴由余弦定理可得cosA===.
故答案为:.
【点评】本题考查正余弦定理的应用,用b表示a,c是解决问题的关键,属于基础题.
14. 复数的虚部为 .
参考答案:
1
略
15. 等差数列,的前项和分别为,,若,则= ___
参考答案:
16. 观察下列等式:
照此规律, 第个等式可为___ ____.
参考答案:
17. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60o,且A1A=3,则A1C的长为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 从某校高一年级800名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米和195厘米之间,将测量结果分为八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195),得到频率分布直方图如.
(Ⅰ)计算第七组[185,190)的样本数;并估计这个高一年级800名学生中身高在170厘米以下的人数;
(Ⅱ) 求出这100名学生身高的中位数、平均数.
参考答案:
【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)利用频率分布直方图,根据频率=,求出对应的数值即可;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,求出该组数据的中位数与平均数.
【解答】解:(Ⅰ)∵第七组的频率为
1﹣5×(0.008+0.008+0.016+0.016+0.04+0.04+0.06)=0.06,
∴其样本数为0.06×100=6;…
又∵5×(0.008+0.016+0.04)=0.32,
∴高一年级800名学生身高低于170厘米的人数为
0.32×100×8=256(人);…
(Ⅱ)从图中知由前四组的频率为
5×(0.008+0.016+0.04+0.04)=0.52,0.52﹣0.5=0.02,
∴在第四组中,0.02=0.04×0.5,
∴175﹣0.5=174.5,
∴中位数为174.5cm;…
平均数为:
157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2
+177.5×0.3182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.04=174.1(cm). …
19. 已知椭圆经过点(0,1),离心率
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A’.试问:当m变化时直线与x轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由。
参考答案:
解:(I)依题意可得 解得
所以椭圆C的方程是
(II)由 得即且△>0恒成立.
记,则
∴的直线方程为
略
20. (14分)已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 平行直线
4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限,
(1)求P0的坐标; ⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
参考答案:
⑴由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,
由已知得3x2+1=4,解之得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.
又∵点P0在第三象限,
∴切点P0的坐标为 (-1,-4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (-1,-4)
∴直线l的方程为即.
21. 在ABC中,, sinB=.
(I)求sinA的值;
(II)设AC=,求ABC的面积.
参考答案:
解析:(Ⅰ)(8分)由,且,∴,
∴,∴,
又,∴
(Ⅱ)(8分)由正弦定理得,又
∴
22. 已知点为抛物线内一定点,过作两条直线交抛物线于,且分别是线段的中点.
(1)当时,求△的面积的最小值;
(2)若且,证明:直线过定点,并求定点坐标。
参考答案:
所在直线的方程为,代入中,得,
设,则有,从而.
则.-----------------------------3分
设所在直线的方程为,同理可得.
(1),. -----------------------------4分
又,故,于是△的面积
,
当且仅当时等号成立.
所以,△的面积的最小值为 ------------------------------------------6分
(2),所在直线的方程为,
即. ------------------------------------------9分
又,即,代入上式,得,
即 .∵,∴是此方程的一组解,
所以直线恒过定点. ------------------------------------------12分