湖北省黄冈市绿杨中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于一个给定的数列{an},定义:若,称数列为数列{an}的一阶差分数列;若,称数列为数列{an}的二阶差分数列.若数列{an}的二阶差分数列的所有项都等于1,且,则( )
A. 2018 B. 1009 C. 1000 D. 500
参考答案:
C
【分析】
根据题目给出的定义,分析出其数列的特点为等差数列,利用等差数列求解.
【详解】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,
则,即,
利用累加法可得,
由于,即
解得,,故.选C
【点睛】本题考查新定义数列和等差数列,属于难度题.
2. 关于直线a、b,以及平面M、N,给出下列命题:
①若a∥M,b∥M,则a∥b;
②若a∥M,b⊥M,则a⊥b;
③若a∥b,b∥M,则a∥M;
④若a⊥M,a∥N,则M⊥N.其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
略
3. 已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率( )
A. B. C.2 D.3
参考答案:
C
略
4. 已知两条直线l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且l1∥l2,则满足条件a的值为( )
A. B. C.﹣2 D.2
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】根据两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得a的值.
【解答】解:根据两条直线l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且l1∥l2,可得,求得 a=﹣2,
故选C.
5. 设向量不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 在区域内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 下列求导运算正确的是( ) ( )
A.(x+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cosx)′=-2xsinx
参考答案:
B
8. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=﹣1,b=﹣3,则输出的a的值为( )
A.27 B.8 C.9 D.3
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累乘a值,并判断满足a>6时输出a的值.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=﹣1,b=﹣3时,不满足条件a>6,a=(﹣1)×(﹣3)=3<6;
不满足条件a>6,a=3×(﹣3)=﹣9<6;
不满足条件a>6,a=(﹣9)×(﹣3)=27;
满足条件a>6,退出循环,输出a的值为27.
故选:A.
9. 已知函数 有两个极值点 ,若 ,则关于x的方程 的不同实根个数为( )
A. 3 B.4 C.5 D. 6
参考答案:
A
10. 某公司现有职员160人,中级管理人员30人,高级管理人员10人,要从其中抽取20个人进行身体健康检查,如果采用分层抽样的方法,则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取人数为 ( )
A.8,15,7 B.16,2,2
C.16,3,1 D.12,3,5
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
略
12. 平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C的几何性质,给出下列三个结论:
①曲线C关于y轴对称;
②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;
③若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4.
其中,所有正确结论的序号是 .
参考答案:
①②③
【考点】轨迹方程.
【分析】设出曲线上的点的坐标,求出曲线方程,画出图象,即可判断选项的正误.
【解答】解:设P(x,y)是曲线C上的任意一点,
因为曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹,
所以|PF|+|y+1|=4.即+|y+1|=4,
解得y≥﹣1时,y=2﹣x2,当y<﹣1时,y=x2﹣2;
显然①曲线C关于y轴对称;正确.
②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;正确.
③若点P在曲线C上,|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,则1≤|PF|≤4.正确.
故答案为:①②③.
13. 某地教育部门为了调查学生在数学答卷中的有关信息,从上次考试的10000名考生的数学试卷中用分层抽样的方法抽取500人,并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则10000人的数学成绩在[140,150]段的约是________
人.
参考答案:
800
略
14. 已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
a
设,则E(Y)的值为________
参考答案:
【分析】
先利用频率之和为1求出的值,利用分布列求出,然后利用数学期望的性质得出可得出答案。
【详解】由随机分布列的性质可得,得,
,因此,.
故答案为:.
【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质,灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键,属于基础题。
15. 已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=________.
参考答案:
16. 已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .
参考答案:
32
17. 对?x∈R,kx2﹣kx﹣1<0是真命题,则k的取值范围是 .
参考答案:
﹣4<k≤0
【考点】全称命题;一元二次不等式的应用.
【专题】计算题;分类讨论;转化思想.
【分析】对k=0与k<0,k>0,分别利用?x∈R,kx2﹣kx﹣1<0是真命题,求出k的范围.
【解答】解:当k=o时,对?x∈R,kx2﹣kx﹣1<0,﹣1<0即是真命题,成立.
当k<0时,对?x∈R,kx2﹣kx﹣1<0是真命题,必有△=(﹣k)2+4k<0,
解得,﹣4<k<0,
当k>0时,对?x∈R,kx2﹣kx﹣1<0是真命题,显然不成立.
综上,﹣4<k≤0.
故答案为:﹣4<k≤0
【点评】本题考查不等式的解法,恒成立问题,考查转化思想,分类讨论.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足-=+().
(1)求常数;
(2)求数列和的通项公式;
(3)若数列{前项和为,问的最小正整数是多少?
参考答案:
解:(1),
,,
.
又数列成等比数列, ,所以 ;
又公比,所以 ;
又,, ;
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, ,
当, ;
();
(2)
;
由得,满足的最小正整数为112.
略
19. (本小题满分12分)已知集合=,=.
⑴当时,求;
⑵求使的实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5)∴ AB=(4,5).
(2)∵ B=(2a,a2+1),
当a<时,A=(3a+1,2) 要使BA,必须,此时a=-1;
当a=时,A=,使BA的a不存在;
当a>时,A=(2,3a+1)要使BA,必须,此时1≤a≤3.
综上可知,使BA的实数a的取值范围为[1,3]∪{-1}
20. 已知函数,f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*)
(I)求证数列{}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(II)记Sn=a1a2+a2a3+anan+1,求Sn.
参考答案:
【考点】数列与函数的综合;数列的求和.
【专题】综合题.
【分析】(I)直接利用an+1=f(an)得到.再对其取倒数整理即可证数列{}是等差数列;进而求出数列{an}的通项公式;
(II)利用(I)的结论以及所问问题的形式,直接利用裂项相消求和法即可求Sn.
【解答】解:(I)由条件得,.
∴?=3.
∴数列{}是首项为=1,公差d=3的等差数列.
∴=1+(n﹣1)×3=3n﹣2.
故an=.
(II)∵anan+1=().
∴Sn═a1a2+a2a3+anan+1
= [(1﹣)+()+…+()]
=(1﹣)=.
【点评】本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法.裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数,而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成.
21. 在某次考试中,从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析,两个班成绩的茎叶图如图所示.
(1)求甲班的平均分;
(2)从甲班和乙班成绩90~100的学生中抽取两人,求至少含有甲班一名同学的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数.
【分析】(1)由茎叶图能求出甲班的平均分.
(2)甲班90﹣100的学生有2个,设为A,B;乙班90﹣100的学生有4个,设为a,b,c,d,从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人,利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率.
【解答】解:(1)甲班的平均分为:
;
(2)甲班90﹣100的学生有2个,设为A,B;乙班90﹣100的学生有4个,设为a,b,c,d,
从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人,共包含:
(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),
(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)15个基本事件,
设事件M=“至少含有甲班一名同学”,
则事件M包含:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),9个事件,
所以事件M的概率为.
【点评】本题考查茎叶图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
22. 已知椭圆C: +=1 (a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ,求直线l的方程;
(3)在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值?若存在,求出点E的坐标及相应的定值.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由已知,,又a2=b2+c2,解出即可得出.
(2)设直线l的方程为y=2x+t,则,可得,根据OP⊥OQ,可得kOP?kOQ=﹣1,解出即可得出.
(3)设E(m,0)、M(x1,y1)、N(x2,y2),当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m,与椭圆方程联立化为(t2+4)y2+2tm