2022-2023学年安徽省安庆市桐城石河高级中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点P(﹣2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:利用过点P(﹣2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,求出A的横坐标,即可求出点A到抛物线C的焦点的距离.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则分别过A,B作直线x=﹣2的垂线,垂足分别为D,E.
∵|PA|=|AB|,
∴3(x1+2)=x2+2,3y1=y2,
∴x1=,
∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.
故选:A.
【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标.
2. 已知△ABC是边长为4的等边三角形,D、P是△ABC内部两点,且满足,,则△ADP的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】9V:向量在几何中的应用.
【分析】以A为原点,以BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.由于等边三角形△的边长为4,可得B,C的坐标,再利用向量的坐标运算和数乘运算可得,,利用△APD的面积公式即可得出.
【解答】解:以A为原点,以BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
∵等边三角形△的边长为4,
∴B(﹣2,﹣2),C(2,﹣2),
由足= [(﹣2,﹣2)+(2,﹣2)]=(0,﹣),
=(0,﹣)+(4,0)=(,﹣),
∴△ADP的面积为S=||?||=××=,
故选:A.
3. 函数y=的定义域为( )
A.(-4,-1) B.(-4,1)
C.(-1,1) D.(-1,1
参考答案:
C
4. 已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 若函数=在上是减函数,则的取值范围为
A.[4,+∞) B.[4,5) C. [4,8) D.[8,+∞)
参考答案:
B
6. 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为,则是奇数的概率是( )
参考答案:
C
7. 等比数列{an}中,a1=1,a8=4,函数f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)…(x﹣an),若y=f(x)的导函数为y=f'(x),则f'(0)=( )
A.1 B.28 C.212 D.215
参考答案:
B
【考点】63:导数的运算.
【分析】设g(x)=(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)…(x﹣a8),对函数进行求导发现f′(0)中,含有x的项的值均为0,而常数项为a1a2a3…a8 ,由此求得f'(0)的值.
【解答】解:设g(x)=(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)…(x﹣a8),
∴f(x)=xg(x),
∴f'(x)=g(x)+xg′(x),
∴f'(0)=g(0)+0×g′(x)=g(0)=(﹣a1)(﹣a2)(﹣a3)…(﹣a8)=(a1a8)4=28
故选B
8. 设F1,F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A. B. C.24 D.48
参考答案:
C
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题.
分析:先由双曲线的方程求出|F1F2|=10,再由3|PF1|=4|PF2|,求出|PF1|=8,|PF2|=6,由此能求出△PF1F2的面积.
解答:解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10,
∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则,
由双曲线的性质知,解得x=6.
∴|PF1|=8,|PF2|=6,
∴∠F1PF2=90°,
∴△PF1F2的面积=.
故选C.
点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
9. 设全集U=R,集合A={x|},B={x|1<<8},则(CUA)∩B等于( )
A.[-1,3) B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3)
参考答案:
B
略
10. 若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20等于( )
A.50 B.25 C.75 D.100
参考答案:
A
考点:等比数列的性质.
专题:计算题;等差数列与等比数列.
分析:直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案.
解答: 解:∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,
∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.
故选:A.
点评:本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是由一平面内的个向量组成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.则称是的极大向量.有下列命题:
①若中每个向量的方向都相同,则中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量,在该平面内总存在唯一的平面向量,使得中的每个元素都是极大向量;
③若中的每个元素都是极大向量,且中无公共元素,则中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是_______________.
参考答案:
②③
①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由于 成立,故 围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;(3)3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为,故 、 中的中的每个元素都是极大向量时,中的每一个元素也都是极大向量,故正确,故答案为②③.
12. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出2个,共有 种不同结果(用数值作答).
参考答案:
45.
13. 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a .
参考答案:
14. 某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的,则实数a的值为_______.
参考答案:
7
【分析】
按流程图逐个计算后可得关于的方程,解出即可.
【详解】执行第一次循环时,有,;执行第二次循环时,有,;执行第三次循环时,有,,执行第四次循环时,有,输出.
所以,故.填.
【点睛】对于流程图的问题,我们可以从简单的情形逐步计算,计算时关注各变量的变化情况,并结合判断条件决定输出何种计算结果.
15. 已知命题p:“?x∈R+,x>”,命题p的否定为命题q,则q是“________________”;q的真假为________.(填“真”或“假”)
参考答案:
16. 直线被圆所截得的弦长等于 .
参考答案:
2
略
17. 平面向量与的夹角为60°,||=1, =(3,0),|2+|= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由条件可以得到,从而进行数量积的运算便可求出的值,从而便可得出的值.
【解答】解:根据条件,,;
∴;
∴.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,平行六面体中,底面是边长为1的正方形,设,,
(1)试用,,表示向量、;
(2)若,求直线与所成的角.
参考答案:
(1)由向量的加减运算法则知:
…………4分
(2)由题意
…………7分
…………10分
即与所成的角为 …………12分
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)通过an+1=2Sn+1与an=2Sn﹣1+1(n≥2)作差、整理可知数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列,进而计算可得结论;
(2)通过an=3n﹣1可知=,利用错位相减法计算即得结论.
【解答】解:(1)∵an+1=2Sn+1(n∈N*),
∴an=2Sn﹣1+1(n≥2),
两式相减得:an+1=3an(n≥2),
由an+1=2Sn+1得:a2=2a1+1=3,
∴a2=3a1满足上式,
∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列,
∴an=3n﹣1;
(2)∵an=3n﹣1,
∴=,
∴Tn=++…++,
∴Tn=++…++,
两式相减得: Tn=3+2(++…+)﹣=4﹣,
∴Tn=6﹣.
20. 在△ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c,且满足(2b-c)cosA-acosC=0.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=,△ABC的面积S△ABC=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
参考答案:
略
21. 选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集M;
(2)若,,证明:.
参考答案:
解:(1)
由得,
∴
(2)∵,,∴,,
∴,,
∴,,
∴,
,∴.
22. (本小题满分14分)
已知函数
当时,求的单调区间;
若不是单调函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
【试题解析】函数定义域为,
;
(1)当时,,令 ,
则 ,由,得,
则时,;时,,
所以在上是减函数,在上是增函数,
所以,
即, 所以在上是增函数,
即的增区间为.
(2)由(1)知,
①当时,,
故,于是,
则在上是增函数,故不合题意;
②当时,令 ,
,由,得,
于是时,;时,,
即所以在上是减函数,在上是增函数,
而,,
故在上存在唯一零点,
设其为,则时,,即;
时,,即,
所以在上是增函数,在上是减函数,
所以不是单调函数,故符合题意.
所以实数的取值范围是.