2022-2023学年山西省临汾市中垛乡中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积等于
A.8+ B.11+ C.14+ D.
参考答案:
A
2. 函数的定义域为,,对任意,则的解集为( )
A. B. C. D.R
参考答案:
B
3. 设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由于,,,所以三数,,的大小关系是.
试题立意:本小题考查指数运算和对数运算,比较大小等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力.
4. 函数f(x)= 的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数的图象.
【分析】先判断函数为偶函数,再分段讨论函数值得情况,即可判断.
【解答】解:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵f(﹣x)===f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,
当0<x<1时,lnx<0,
∴f(x)<0,
当x>1时,lnx>0,
∴f(x)>0,
当x=1时,f(x)=0,
故选:D
5. 函数的值域为D,若,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2] C. (0,2] D.[2,+∞)
参考答案:
B
6. 当a > 0时,函数的图象大致是( )
参考答案:
B
略
7. (05年全国卷Ⅰ)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为
(A) (B) (C) (D)2
参考答案:
答案:B
8. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( )
A. 138 B. 135 C. 95 D. 23
参考答案:
C
略
9. 下列选项中,说法正确的是( )
A.若命题“”为真命题,则命题p和命题q均为真命题;
B.命题“若,则”的逆命题是真命题;
C.命题“若,则” 的否命题是真命题;
D.命题“若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题;
参考答案:
D
10. 已知数列,若点在经过点的定直线上,则数列的前15项和( ) A.12 B.32 C.60 D.120
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设数列的前项和为, 若, N, 则数列的
前项和为 .
参考答案:
12. 已知圆:,直线被圆截得的弦长是 .
参考答案:
解析:圆心,半径,弦心距。弦长
13. 如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。
参考答案:
解析:作BC的中点N,连接AN,则AN⊥平面BCC1B1,
连接B1N,则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影,
∵B1N⊥BM,∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°
14. 右图是求实数的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填 .
参考答案:
或
15. 在一次数学测试中,甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分,他们四位同学对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分.其中只有一位同学说的是真话,据此,判断考满分的同学是 .
参考答案:
甲
16. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 .
参考答案:
20
考点: 程序框图.
专题: 算法和程序框图.
分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,b,c,s的值,当c=8时,满足条件c>5,退出循环,输出s的值为20.
解答: 解:执行程序框图,有
a=1,b=1,s=2
c=2,s=4
不满足条件c>5,a=1,b=2,c=3,s=7
不满足条件c>5,a=2,b=3,c=5,s=12
不满足条件c>5,a=3,b=5,c=8,s=20
满足条件c>5,退出循环,输出s的值为20.
故答案为:20.
点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于基本知识的考查.
17. 已知数列中,数列的前项和为,当整数时,都成立,则数列的前n项和为
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数
(1)当时,求的单调减区间;
(2)当时,对任意的正整数,在区间上总有个数使得:
成立,试求正整数的最大值.
参考答案:
(1)由题意,
令得, ……………………………………………3分
若,由得;
若,①当时,,当或时,;
②当时,,此时函数的单调递减区间为
③当时,或,;,
④当,函数的单调递减;
综上,当时,函数的单调递减区间为,
当时,函数的单调递减区间为
当时,函数的单调递减区间为
当时,函数的单调递减区间为,
④当,函数的单调递减;………………………………….10
(2)当时,
∵,∴ ∴,
………………………………………………….12分
由题意,恒成立。
令,且在上单调递增,
,因此,而是正整数,故,
所以,时,存在,时,对所有满足题意,∴……………………………………………………………………………14分
19. 如图,已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形,平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直,且∠ACC1=∠BAA1=60°,AA1=2
(Ⅰ)求证:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求四面体A﹣CC1B1的体积;
(Ⅲ)求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值.
参考答案:
(1)证明:设AA1的中点为O,连接OB,
∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形,且∠ACC1=∠BAA1=60°,
∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形,
所以OB⊥OC1,
又∵OB∩OC1=O,∴AA1⊥平面OBC1,
所以AA1⊥BC1;
(2)解:∵三角形CC1B1和CC1B面积相等,
∴=,
∴四面体A﹣CC1B1的体积为1;
(3)解:由(1)知AA1⊥OB,
又∵平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直,
∴OB⊥平面AA1C1C,
∴OA1,OC1,OB,三条直线两两垂直,
以O为坐标原点,分别以OA1,OC1,OB为x轴,y轴,z轴建立坐标系如图,
则,,
∴=(1,0,),=(﹣1,,0),=(1,,0),
设平面ABC,ABC1的法向量的坐标分别为(a,b,c),(a1,b1,c1),
由,可得,
所以可取,
同理可取,
∴,
所以二面角C﹣AB﹣C1的正弦值为=.
略
20. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,N是抛物线上一点.△OFN的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为.
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)点M在x轴的正半轴上,且不与点F重合.动点A在抛物线C上,且不过点O.试问:点M在什么范围之内的时候,∠FAM恒为锐角?
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(I)根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由此可求p的值,即可求抛物线C的方程;
(Ⅱ)?=(m﹣x)(1﹣x)+y2=x2+(3﹣m)x+m>0对x≥0都成立令f(x)=(m﹣x)(1﹣x)+y2=x2+(3﹣m)x+m>对x≥0都成立,分类讨论,即可得出结论.
【解答】解:(I)∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为,∴圆的半径为,
又∵圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
∴+=
∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x;
(Ⅱ)设A(x,y),M(m,0)(m>0)
根据题意:∠MAF为锐角,可得?>0且m≠1,
∵=(m﹣x,﹣y),=(1﹣x,﹣y),
∴?=(m﹣x)(1﹣x)+y2=x2+(3﹣m)x+m>0对x≥0都成立
令f(x)=(m﹣x)(1﹣x)+y2=x2+(3﹣m)x+m>对x≥0都成立
(i)若≥0,即m≥3时,只要使m﹣()2>0成立,∴1<m<9
∴3≤m<9.
(ii)若<0,即m<3,只要使m>0,∴0<m<3.
由(i)(ii)得m的取值范围是0<m<9且m≠1.
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质,同时考查了向量的数量积,考查了计算能力.
21. 数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,证明:
参考答案:
解析:(I)∵是和的等差中项,∴
当时,,∴
当时,,
∴ ,即 3分
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴, 5分
设的公差为,,,∴
∴ 6分
(II) 7分
∴ 9分
∵,∴ 12分
略
22. (本小题满分12分) 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,则截面与底面之间的部分叫棱台。如图,在四棱台中,下底是边长为的正方形,上底是边长为1的正方形,侧棱⊥平面,.
(Ⅰ)求证:平面;
(II)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案:
以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图,则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2). … 3分
(Ⅰ)证明:设则有所以,,∴平面;………6分
(II)解:
设为平面的法向量,
于是………8分
同理可以求得平面的一个法向量,………10分
∴二面角的余弦值为. ………12分