2022-2023学年山西省吕梁市罗峪镇中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角的菱形,,俯视图为正方形,则此几何体的内切球表面积为( )
正视图
侧视图
俯视图
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 已知函数既是二次函数又是幂函数,函数是上的奇函数,函数,则( )
A.0 B. 2018 C. 4036 D.4037
参考答案:
D
因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数,所以 ,
因此 ,
因此 选D.
3. 函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D上为非减函数,设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①;②;③,则等于 ( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
略
4. 已知双曲线的左右两个焦点分别为F1和F2,若其右支上存在一点P满足,使得△PF1F2的面积为3,则该双曲线的离心率为
A. B. C.2 D. 3
参考答案:
B
由双曲线可知,从而.故选B.
5. 如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m、n,则m+n=( )
A.12 B.18 C.16 D.14
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】若方程f(g(x))=0,则g(x)=﹣,或g(x)=0,或g(x)=,进而可得m值;不妨仅g(x)的三个零点分别为﹣a,0,a(0<a<1),若g(f(x))=0,则f(x)=﹣a,或f(x)=0,或f(x)=a,进而得到n值
【解答】解:若方程f(g(x))=0,则g(x)=﹣,或g(x)=0,或g(x)=,
此时方程有9个解;
不妨仅g(x)的三个零点分别为﹣a,0,a(0<a<1)
若g(f(x))=0,则f(x)=﹣a,或f(x)=0,或f(x)=a,
此时方程有9个解;
即m=n=9,
∴m+n=18,
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是数形结合思想,方程的根与函数零点之间的关系,难度中档.
6. .已知,若的必要条件是,则 之间的关系是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
7. 下列函数中,周期为,且在区间上单调递增的函数是
A. B. C. D.
参考答案:
C
由,所以函数在区间上单调递减,函数在区间上单调递增,因此选C。
8. 已知函数,若将f(x)的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由题意求得ω=4k+2,k∈Z,根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得+φ=lπ,l∈Z,结合φ的范围,可得φ的值.
【解答】解:∵函数,
∴sinφ=﹣sin(ω?+φ),∴ω=4k+2,k∈Z.
将f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位后所得函数的解析式为y=sin(ωx++φ)的图象关于原点对称,
∴+φ=lπ,l∈Z,∵φ∈(0,)∴k=2,ω=10,此时,φ=,
故选:B.
9. 设抛物线的准线为,点在抛物线上,且在第一象限内,若圆与相切,在轴上截得的线段长为6,则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数图像的翻折变换,难度较小.选项A为奇函数,C、D在均为减函数,故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列为一个等差数列,,则公差的值为
参考答案:
2或-2
12. _____________.
参考答案:
略
13. 已知正数数列{an}的前n项和Sn满足:Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项,则a1= ,Sn= .
参考答案:
2;2n2.
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】由等差中项和等比中项可得=,平方可得Sn=,把n=1代入可得a1=2,还可得Sn﹣1=,又an=SnS﹣n﹣1,数列各项都是正数,可得an﹣an﹣1=4,可得数列为等差数列,可得前n项和公式.
【解答】解:由题意知=,平方可得Sn=,①
①由a1=S1得=,从而可解得a1=2.
又由①式得Sn﹣1=(n≥2)…②
①﹣②可得an=SnS﹣n﹣1=﹣(n≥2)
整理得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣4)=0
∵数列{an}的各项都是正数,
∴an﹣an﹣1﹣4=0,即an﹣an﹣1=4.
故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列,
∴Sn=2n+=2n2.
当n=1时,S1=a1=2.
故Sn=2n2.
故答案是:2;2n2.
14. .命题:,的否定为 .
参考答案:
15. 已知函数,下列命题是真命题的为 ( )
A.若,则.
B.函数在区间上是增函数.
C.直线是函数的一条对称轴.
D.函数图象可由向右平移个单位得到.
参考答案:
C
16. 已知点M(﹣2,2),点N(x,y)的坐标满足不等式组,则|MN|的取值范围是 .
参考答案:
【考点】简单线性规划.
【分析】先画出满足不等式组的平面区域,然后分析平面区域的形状,求出|MN|取最大值,最小值即可得到结果.
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由图得,当点N(x,y)位于平面区域的原点时,|MN|取最大值2.由图形可知M(﹣2,2)到直线y﹣x=2距离最小,
此时|MN|=
|MN|的取值范围[,2].
故答案为:[,2].
17. 设不等式组所表示的区域为,函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在平行四边形ABCM中,.,以AC为折痕将折起,使点M到点D的位置,且.
(1)证明:CD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且,求三棱锥体积.
参考答案:
(1)见证明;(2)
【分析】
(1)由线面垂直的判定定理,可直接证明结论成立;
(2)先取上一点,使,结合题中条件证明平面,用等体积法,根据即可求出结果.
【详解】解:(1)是平行四边形,且.
,又,所以平面,
又平面,,
又 ,所以平面;
(2)取上一点,使,
因为,连结,则,
所以,由(1)可得平面;
,
,
所以,
.
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及几何体的体积,熟记线面垂直的判定定理以及等体积法的灵活运用即可,属于常考题型.
19. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金,且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图,图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。
(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数;
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列2×2联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关?
P()
0.01
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.71
3.84
6.64
7.88
10.83
参考答案:
20. (本题满分15分)设函数,且为的极值点. (Ⅰ) 若为的极大值点,求的单调区间(用表示); (Ⅱ)若恰有1解,求实数的取值范围.
参考答案:
解:
因为为的极值点,所以
所以且, ……………3分
(I)因为为的极大值点,所以
当时,;当时,;当时,
所以的递增区间为,;递减区间为.…………6分
II)若,则在上递减,在上递增
恰有1解,则,即,所以;…………9分
若,则,
因为,则
,从而恰有一解; ……………12分
若,则
,从而恰有一解;
所以所求的范围为. ……………15分
21. 已知数列的各项均为正整数,且,
设集合。
性质1 若对于,存在唯一一组()使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列。
性质2 若记,且对于任意,,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;
(Ⅰ)若数列的通项公式为,求集合,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;
(Ⅱ)若数列的通项公式为,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和。
(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合,并求数列通项公式。
参考答案:
解:(Ⅰ);
为2阶完备数列,阶完整数列,2阶完美数列;
(Ⅱ)若对于,假设存在2组及()使成立,则有
,即
,其中,必有,
所以仅存在唯一一组()使成立,
即数列为阶完备数列;
,对,,则,因为,则,所以,即
(Ⅲ)若存在阶完美数列,则由性质1易知中必有个元素,由(Ⅱ)知中元素成对出现(互为相反数),且,又具有性质2,则中个元素必为
。
略
22. 已知,不等式的解集为.
(1) 求;
(2) 当时,证明:
参考答案:
(1),原不等式等价于
, (2’)
解得 (4’)
不等式的解集是; (5’)
(2)
(8’)
(10’)