云南省曲靖市昭通第一中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为 A．4 B．1 C．2 D．3 参考答案： B 做出不等式对应的区域如图：，要使平面区域被直线分成面积相等的两部分，则必有直线过线段BC的中点M,由题意可知,由解得，即,所以中点,带入直线，解得。选B. 2. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2； 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x， 由双曲线的性质，可得b=1； 则c=，则焦距为2c=2； 故选B． 【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论． 3. 若函数有最小值，则实数的取值范围是（      ） A.        　B.       C.              D. 参考答案： A 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（  ） A． B．    C． D． 参考答案： B 5. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（    ） A. 第一象限          B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 6. 若，则z= A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i 参考答案： D ,.   7. 若函数的图象关于原点对称，当时，单调递减且最小值是-1，那么=                                                         A．                       B．                          C．                         D． 参考答案： B 8. 已知，且满足的最大值是（   ）     A.      B.4       C.5       D.                                                                                      参考答案： D 9. 若复数满足，则复数的虚部为 A.-1　　　　B. 0　　　　　　C. i　　　　　D. 1 参考答案： B 10. 已知抛物线（为常数）的准线经过点，则抛物线的焦点坐标为 .       .         .      . 参考答案： D 试题分析：因为抛物线的准线经过，所以抛物线的准线方程为，所以其焦点坐标为，故选D. 考点：抛物线的几何性质. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ．在等差数列中，已知，则该数列前项和           ． 参考答案： 12. 设一球的半径为，则该球的表面积、体积分别为______、_________ 参考答案： ， 13. 的展开式中常数项为_________。（用数字表示）   参考答案： 答案：28    14. 已知，且，则的最大值等于_____________。 参考答案：    解析： 15. 已知过点P（1，0）的直线l交圆O：x2+y2=1于A，B两点，|AB|=，则直线l的方程为　  　． 参考答案： x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0   【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，根据题意设出直线AB解析式为y=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，根据弦长的一半以及半径r，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解确定出k的值，即可求出直线l的方程． 【解答】解：由圆的方程得：圆心（0，0），半径r=1， 设直线AB的解析式为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0， ∵圆心到直线AB的距离d=，弦长|AB|=， ∴12=（）2+（）2， 解得：k=±1， 则直线l方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0． 故答案为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0 　 16. 由曲线和直线所围成的面积为_____________。 参考答案： 略 17. 若正数满足,则的最大值为             。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分l2分)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=(sinA，1)，=(cosA，)，且//． (I)求角A的大小； (II)若a=2，b=2，求ABC的面积． 参考答案： 19. 已知二次函数，满足条件，且方 程有两个相等实根。       （1）求的解析式；    （2）若在区间上是单调函数，求的取值范围。 参考答案： 解：（1）∵f(1+x)=f(1-x),  ∴f(x)的图象关于直线x=1对称。∴f(x)的对称轴=1.   ① 又f(x)=x，即ax2+(b-1)x=0有等根      ∴    ② 由①，②解得：   ∴  (2)∵， 且在区间上是单调函数 ∴    即   ∴ 略 20. 在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标． 参考答案： 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 则曲线可化为：  曲线化为x=1,                           ………………6分    由可得交点坐标（1，1）， 所以交点Q的极坐标是………………10分 21. (本小题满分12分） 已知△中，角，，的对边分别为，，，且，． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求△的面积． 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知，    整理得．  ………2分  因为，所以 故，解得.  ……………4分  由，且，得.   由，即，    解得.      ………………6分  （Ⅱ）因为，又， 所以，解得. …………9分    由此得， 故△为直角三角形，，．   ．……12分 22. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使. （Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO； （Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.   参考答案： （Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，          ∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，          ∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………………………………………（1分）          取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，          在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,          在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，          ∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………………………………………（2分）          又DH⊥OA, OA∩BH=H ……………………………………………（3分）          ∴DH⊥面ABCO，……………………………………………………（4分）          而DH∈平面AOD，…………………………………………………（5分）          ∴平面AOD⊥平面ABCO. …………………………………………（6分） （Ⅱ）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. ∴……（7分） 设平面ABD的一个法向量为 由得 即令则， 取………………………………………………………………（9分） 设为直线BC与平面ABD所成的角， 则 ………………………………………（11分） 即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………………………（12分） 略