2022年上海教师进修学院附属中学高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则b=（  ） A．-1       B．1       C．2     D．-2 参考答案： C 略 2. 如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为（　　） A. 125 B. 150 C. 175 D. 200 参考答案： A 【分析】 由题意求出阴影部分的面积为，利用，可得结果． 【详解】由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3， 又正方形面积为4，则阴影部分面积为. 设落到阴影部分的豆子数为， 则． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，属于基础题． 3. 函数的部分图像可能是（   ） 参考答案： A 4. 已知集合，则 A. B. C. D. . 参考答案： 【答案解析】A  由则故选A. 5. 已知满足条件的点（x,y）构成的平面区域面积为，满足条件的点（x,y）构成的平面区域的面积为,其中分别表示不大于的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则的关系是（  ） A.     B.         C.           D.    参考答案： 略 6. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的为（    ） A. 100        B. 250     C. 140       D. 190 参考答案： D 7. 函数的图象是（      ） 参考答案： A 8. 若函数的图象不经过第四象限，则正实数a的取值范围为(  ) A. [1,+∞) B. C. D. 参考答案： C 【分析】 求导对a讨论判断函数的单调性求其极值即可求解 【详解】 当,即 ,得 或，当 或 ， ，故在 单调递增，又，故图象不经过第四象限，符合题意 当，即 时， ,得或，当 ， ，故在 单调递减，在递增，又，故图像经过第四象限，舍去 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性，函数图像的应用，f（0）=0是突破点，是中档题 9. 设复数z1=+i，z2=3+4i，其中i为虚数单位，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】由已知求出，在求出|z2|，代入得答案． 【解答】解：∵，∴， ∵z2=3+4i，∴|z2|=5， ∴=． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 10. 已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 参考答案： D 考点： 函数的零点． 专题： 数形结合；函数的性质及应用． 分析： f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，即可得到a，b，c的大小． 解答： 解：f（a）=g（b）=h（c）=0 即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx 与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c， 画出它们的图象，由图象可得， a＜c＜b． 故选：D． 点评： 本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式展开式中的常数项为             .   参考答案： 15 12. 公比为的等比数列的各项都为正数，且，则_______； _________________. 参考答案： ； 由，解得。又，所以，所以. 13. 已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是__ __． 参考答案： a≥1 仅考虑函数f(x)在x>0时的情况，可知函数f(x)在x＝2时，取得极大值16. 令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)． 函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑： ①当04； ②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4； ③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1. 综上所述，实数a的取值范围是a≥1. 14. 曲线在处的切线的倾斜角为           . 参考答案： 答案：   15. 已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，则实数a=　    　． 参考答案： ﹣1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的综合应用． 【分析】欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：f′（x）=sinx+xcosx， ∵曲线在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直， ∴根据导数几何意义得：f′（）=﹣，即：1=﹣， 解得：a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识．属于基础题． 16. 已知正实数 , 则的值为___________. 参考答案： 略 17. 若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为　　． 参考答案： ． 【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率． 【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数， 基本事件总数n=， 这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6， ∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=． （1）证明：a，c，b成等比数列； （2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长． 参考答案： 【考点】正弦定理；等比数列的通项公式． 【分析】（1）+=，由余弦定理可得： +=，化简即可证明． （2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得： =1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出． 【解答】（1）证明：∵ +=，由余弦定理可得： +=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列． （2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为： =1， C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=． ∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b． ∴△ABC的周长=3a==9． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 已知数列{an}为等比数列，a1＝3，且a2是a1与a3－3的等差中项 （1）求{an}的通项公式； （2）证明： 参考答案： 20. （14分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）设函数g（x）=f（ex）， （i）求g（x）的单调区间； （ii）设h（x）=，k（x）=2h′（x）x2，求证：当x＞0时，k（x）＜+． 参考答案： 【考点】： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】： 计算题；证明题；导数的综合应用． 【分析】： （Ⅰ）先求导f′（x）=；从而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1组成方程组求解即可； （Ⅱ）（i）化简g（x）=f（ex）=，再求导g′（x）=，从而由导数确定函数的单调区间； （ii）化简h（x）==，求导h′（x）=，从而化简k（x）=2h′（x）x2=；分别判断与1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可证明． 解：（Ⅰ）由题意知，f′（x）=； 故f（1）=ln（1+a）+b=0， f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1， 解得，a=b=0． （Ⅱ）（i）g（x）=f（ex）=， g′（x）=， 则当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0； 故g（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，单调减区间是（1，+∞）． （ii）证明：h（x）==， h′（x）=， k（x）=2h′（x）x2=； 由（i）知，当x＞0时，∈（0，]， 设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x， m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2）， 故m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， 故mmax（x）=m（）=1+且g（x）与m（x）不于同一点取等号， 故k（x）＜（1+）=+． 【点评】： 本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法，属于中档题． 21. 如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 参考答案： 解：（1）连接D1O，如图， ∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形， ∴D1O∥BM． ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC． (2) 连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=， ∴B1D1=2，OB1=2，D1O=2， 则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O． ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D， ∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1， ∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O， ∴D1O⊥平面AB1C． （Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E，连接EC， ∵CB⊥AB，CB⊥BB1， ∴CB⊥平面ABB1，又AB1?平面ABB1， ∴CB⊥AB1，又BE⊥AB1，且CB∩BE=B， ∴AB1⊥平面EBC，而EC?平面EBC， ∴AB1⊥EC． ∴∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角． 在Rt△BEC中，BE=，BC=2 ∴tan∠BEC=，∠BEC=60°， ∴二面角B-AB1-C的大小为60°． 略 22. 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方