山东省滨州市流坡坞中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等比数列{an}中,若a3a6=9,a2a4a5=27,则a2的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.9
参考答案:
B
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设公比为q,可得=9, =27,两式相除可得答案.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
由题意可得a3a6===9,①
a2a4a5===27,②
可得a2=3
故选B
2. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.29π B.30π C. D.216π
参考答案:
A
【考点】LR:球内接多面体;LG:球的体积和表面积.
【分析】几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积.
【解答】解:由三视图复原几何体,几何体是底面是直角三角形,
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥;把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,
它的对角线的长为球的直径:,球的半径为:.
该三棱锥的外接球的表面积为:,
故选A.
3. 函数(x>1)的最大值是
A.-2 B.2 C.-3 D.3
参考答案:
A
4. 已知a为函数的极小值点,则a=( )
A. -9 B. -2 C. 4 D. 2
参考答案:
D
∵,
∴,
∴当或时,单调递增;
当时,单调递减.
∴当时,有极小值,即函数的极小值点为2.选D.
5. 已知f(x)=x2+2xf′(1)﹣6,则f′(1)等于( )
A.4 B.﹣2 C.0 D.2
参考答案:
B
【考点】63:导数的运算.
【分析】对函数f(x)的解析式求导,得到其导函数,把x=1代入导函数中,列出关于f'(1)的方程,进而得到f'(1)的值
【解答】解:求导得:f′(x)=2x+2f′(1),
令x=1,得到f′(1)=2+2f′(1),
解得:f′(1)=﹣2,
故选:B.
6. 如图,、分别是双曲线的两个焦点,以坐标原点为圆心,为半径的圆与该双曲线左 支交于、两点,若△是等边三角形,则双曲线的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
D
7. 垂直于同一条直线的两条直线( )
A、平行 B、相交
C、异面 D、以上都有可能
参考答案:
D
8. 已知离心率e=的双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点,若△AOF的面积为1,则实数a的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的离心率求出渐近线方程,利用三角形的面积,结合离心率即可得到方程组求出a即可.
【解答】解:双曲线C:﹣=1的右焦点为F,O为坐标原点,
以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,
所以FA⊥OA,则FA=b,OA=a,
△AOF的面积为1,
可得ab=1,
双曲线的离心率e=,可得==,
即=,
解得b=1,a=2.
故选:C.
9. 某班级要从5名男生,3名女生中,选派4人参加某次社区服务,那么选派的4人中恰好有2 名女生的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,) B.(0,-) C.(0, ) D.(0,-)
参考答案:
A 解析:
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为 .
参考答案:
略
12. 使不等式恒成立的m的取值范围是区间(a,b),则b-a= .
参考答案:
8
13. 设是等差数列{}的前n项和,已知=3,=11,则等于_________________
参考答案:
63
14. 函数在时有极值,那么的值分别为_______
参考答案:
4 ,-11
略
15. 设复数满足,则____________。
参考答案:
16. 函数y =的定义域是 .
参考答案:
17. 底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为 cm2。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,曲线C1的方程为.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出曲线C1的参数方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设点P在曲线C1上,点Q在曲线C2上,求|PQ|的最大值.
参考答案:
(1)的参数方程为 (为参数),的直角坐标方程为;(2).
试题分析:
(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标、参数方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线的参数方程为(为参数),的直角坐标方程为.
(Ⅱ)曲线是以 为圆心,为半径的圆.设出点的的坐标,结合题意得到三角函数式:.结合二次型复合函数的性质可得.
试题解析:
(Ⅰ)曲线的参数方程为(为参数),
的直角坐标方程为,即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线是以 为圆心,为半径的圆.
设,
则
.
当时,取得最大值.
又因为,当且仅当三点共线,且在线段上时,等号成立.
所以.
19. 本小题满分12分)
已知分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若面积为,求椭圆的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)可得,,所以椭圆离心率为………3分
(Ⅱ)方程为,椭圆方程为,………5分
联立可得
,解得,………8分
所以为,
所以,所以椭圆的方程为………12分
略
20. 某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的,A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为、、.已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其它的为废品,不进入市场.
(Ⅰ)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;
(Ⅱ)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)先分为互斥的三个事件,再根据独立事件的概率求解;(Ⅱ)分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.
【详解】解:(Ⅰ)不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.
所以,,.,,.
设事件为“生产一个元件,该元件为二等品”.
由已知是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,
所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为.
(Ⅱ)生产一个元件,该元件为一等品的概率为
.
设事件为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,则
.
所以至少有2个元件是一等品的概率为.
【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率,考查计算能力与转化能力,属于基础题.
21. 已知在中,边所对应的角为,为锐角,.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求的值
参考答案:
………………10分
………………11分
………………13分
略
22. (本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)若无极值点,但其导函数有零点,求的值;
(Ⅱ)若有两个极值点,求的取值范围,并证明的极小值小于.
参考答案:
由韦达定理,,
令其中设 ,利用导数容易证明当时单调递减,而,因此,即的极小值 -------12分
(Ⅱ)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根,所以反过来,
(用表示的关系式与此相同),这样
即,再证明该式小于是容易的(注意,下略).