山东省聊城市东城中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某教辅书店有四类高考复习用书,其中语文类、数学类、文科综合类及英语类分别有20种、10种、40种、30种,现从中抽取一个容量为20的样本进行检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的数学类
与文科综合类书籍种数之和是
A.4 B.6
C.8 D.10
参考答案:
D
略
2. 已知全集,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
解:全集,或,
.
故选:C.
3. 如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
参考答案:
C
4. 函数,若,则的所有可能值为( )
(A)1 (B) (C) (D)
参考答案:
A
5. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片,下图是其中一个构件的三视图,则此构件的体积为
A. 34000mm3 B. 33000 mm3
C. 32000 mm3 D.30000 mm3
参考答案:
C
【分析】
由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长体的一个几何体,由此能求出该零件的体积.
【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是:
长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长体的一个几何体,
如图,
∴该零件的体积:
V=100×20×20﹣40×20×10=32000(mm3).
故选:C.
【点睛】本题考查几何体的体积的求法,考查几何体的三视图等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
6. 已知 ,且p是q的充分条件,则的取值范围为( )
A. -1<<6 B. C. D.
参考答案:
答案:B
7. 若展开式中第四项与第六项的系数相等,则展开式中的常数项的值等于( )
A. 8 B.16 C. 80 D. 70
参考答案:
D
略
8. 设, 则 “”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
B
9. 从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】概率与统计.
【分析】从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数,基本事件总数n==6,则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2,由此能求出这个两位数大于30的概率.
【解答】解:从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数,
基本事件总数n==6,
则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2,
∴这个两位数大于30的概率为P==.
故选:B.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
10. 当实数满足不等式时,恒有成立,则实数的取值集合
是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
画出可行域,直线恒过定点(0,2),则可行域恒在直线的下方,显然当时成立,当时,直线即为 ,其在轴的截距,综上,可得。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点处的切线方程为 。
参考答案:
略
12. 中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E:x2+y2﹣4x+3=0的圆心,一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点,则椭圆C的标准方程为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】化圆的一般式方程为标准方程,求出圆心坐标和圆与x轴的交点,结合隐含条件求得椭圆的标准方程.
【解答】解:由x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1,
∴圆E的圆心为(2,0),与x轴的交点为(1,0),(3,0),
由题意可得,椭圆的右顶点为(2,0),右焦点为(1,0),
则a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3,
则椭圆的标准方程为:.
故答案为:.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆标准方程的求法,是基础题.
13. 若“”是“”成立的充分不必要条件,则实数的取值范围是 .
参考答案:
14. 某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的为,
则输出的的值为 .
参考答案:
15. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的圆心在第一象限,圆C与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且与直线x-y+1=0相切,则圆C的半径为 ▲ .
参考答案:
16. 等比数列的前项和为,已知,,成等差数列,则的公比为 ;
参考答案:
17. 已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得,则的最小值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. [选修4一1:几何证明选讲]
如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
参考答案:
【考点】弦切角.
【分析】连接OC,先证得三角形OBC是等边三角形,从而得到∠DCA=60°,再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中,利用角的关系即可求得边AE的长.
【解答】解:如图,连接OC,因BC=OB=OC=3,
因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,
所以∠DCA=60°,又AD⊥DC得∠DAC=30°;
又因为∠ACB=90°,
得∠CAB=30°,那么∠EAB=60°,
从而∠ABE=30°,
于是.
19. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,
求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
参考答案:
解:(Ⅰ),
当时,在上恒成立,
函数 在单调递减,∴在上没有极值点;
当时,得,得,
∴在上递减,在上递增,即在处有极小值.
∴当时在上没有极值点,
当时,在上有一个极值点.························································· 4分
(注:分类讨论少一个扣一分。)
(Ⅱ)∵函数在处取得极值,∴, ………………………………………5分
∴, ……………………………………………………6分
令,可得在上递减,在上递增,………………8分
∴,即.······························································ 9分
(Ⅲ)证明:,······································ 10分
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增.································ 12分
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有. 14分
略
20. 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>,且当x∈[,a]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)对x分类讨论,去掉绝对值符号解出即可得出.
(2)当a>,x∈[,a],时,f(x)=4x+a﹣1,不等式f(x)≤g(x)化为3x≤4﹣a,化简利用a的取值范围即可得出.
【解答】解:(1)由|2x﹣1|+|2x+2|<x+3,得:
①得x∈?;
②得0<x≤;
③得…
综上:不等式f(x)<g(x)的解集为…
(2)∵a>,x∈[,a],
∴f(x)=4x+a﹣1…
由f(x)≤g(x)得:3x≤4﹣a,即x≤.
依题意:[,a]?(﹣∞,]
∴a≤即a≤1…
∴a的取值范围是(,1]…
21. 设,,.
(1)求值:
①;
②();
(2)化简:.
参考答案:
(Ⅰ)①0,②,0,(Ⅱ)
(Ⅱ)利用(Ⅰ)所得结论进行化简:
又,代入化简得结果
试题解析:解:(1)①
. ……………2分
②
. ………………4分
(2)方法一:由(1)可知当时
. ……………6分
故
. ……………10分
方法二:当时,由二项式定理,有,
两边同乘以,得,
两边对求导,得,
……………6分
两边再同乘以,得
,
两边再对求导,得
. ……………8分
令,得,
即. …………10分
考点:组合数定义及其性质
【思路点睛】二项式通项与展开式的应用
(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.
(2)展开式的应用:
①可求解与二项式系数有关的求值,常采用赋值法.
②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式,并将它展开进行分析判断.
③有关组合式的求值证明,常采用构造法.
22. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)设,若,恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)等价于,
当时,,∴无解,
当时,,解得,∴,
当时,,∴,
故不等式的解集为.
(2),恒成立,等价于,
又,
故,解得.