2022年江西省赣州市肖田中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,A是圆上一定点,在圆上其它位置任取一点A′,则弦AA′的长度大于等于半径长度的概率为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
略
2. 数列满足,
,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 若,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
4. 在中,已知是边上一点,若,,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 函数 ,则=( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
参考答案:
B
略
6. 已知函数f(x)=e1+|x|﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是( )
A. B. C.(﹣,) D.
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【分析】由已知可得,函数f(x)为偶函数,且在x≥0时为增函数,在x≤0时为减函数,若f(x)>f(2x﹣1),则|x|>|2x﹣1|,解得答案.
【解答】解:∵函数f(x)=e1+|x|﹣满足f(﹣x)=f(x),
故函数f(x)为偶函数,
当x≥0时,y=e1+|x|=e1+x为增函数,y=为减函数,
故函数f(x)在x≥0时为增函数,在x≤0时为减函数,
若f(x)>f(2x﹣1),则|x|>|2x﹣1|,
即x2>4x2﹣4x+1,即3x2﹣4x+1<0,
解得:x∈,
故选:A.
7. 已知数列为等差数列,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比q1,若,,则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. (5分)如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则下列说法中错误说法的个数是()
①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个(不含本身)
③的长度恰为长度的倍
④与不共线.
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
参考答案:
C
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 平面向量及应用;简易逻辑.
分析: ①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误;
②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误.
④利用向量共线定理即可判断出与共线,即可判断出正误.
解答: 解:①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个,(不含本身),正确;
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个,,,(不含本身),正确;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得:的长度恰为长度的倍,正确.
④与共线,因此不正确.
因此说法中错误说法的个数是1.
故选:C.
点评: 本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题.
9. 已知全集U=R,集合A={x | y=},B={x|0<x<2},则(CuA)∪B=
A、[1,+∞) B、(1,+∞) C、[0,+∞) D、(0,+∞)
参考答案:
D
10. 设全集U是实数集R,集合,,则为
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=acos(2x+)+3,x∈[0,]的最大值为4,则实数a的值为 .
参考答案:
2或﹣1
【考点】复合三角函数的单调性.
【分析】由x∈[0,]?2x+∈[,],利用余弦函数的单调性,结合题意即可求得实数a的值.
【解答】解:∵x∈[0,],
∴2x+∈[,],
∴﹣1≤cos(2x+)≤,
当a>0时,﹣a≤acos(2x+)≤a,
∵ymax=4,
∴a+3=4,
∴a=2;
当a<0时, a≤acos(2x+)≤﹣a
同理可得3﹣a=4,
∴a=﹣1.
综上所述,实数a的值为2或﹣1.
故答案为:2或﹣1.
12. 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则下列结论正确的是 .
①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
③△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
④△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形.
参考答案:
④
【考点】GZ:三角形的形状判断.
【分析】首先根据正弦、余弦在(0,π)内的符号特征,确定△A1B1C1是锐角三角形;
然后假设△A2B2C2是锐角三角形,则由cosα=sin(﹣α)推导出矛盾;
再假设△A2B2C2是直角三角形,易于推出矛盾;
最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论.
【解答】解:因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0,
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.
若△A2B2C2是锐角三角形,由,
得,
那么,A2+B2+C2=,这与三角形内角和是π相矛盾;
若△A2B2C2是直角三角形,不妨设A2=,
则sinA2=1=cosA1,所以A1在(0,π)范围内无值.
所以△A2B2C2是钝角三角形.
故答案为:④.
13. (5分)函数f(x)=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数为 .
参考答案:
2
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.
分析: 函数f(x)=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数即y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的交点的个数,作图求解.
解答: 函数f(x)=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数即y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的交点的个数,
作y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的图象如下,
共有2个交点,
故答案为:2.
点评: 本题考查了函数的图象与函数的零点的关系应用,属于基础题.
14. 设函数,,则不等式的解集为___________.
参考答案:
略
15. 根据统计,一名工人组装第件某产品所用的时间(单位:分钟)为
(为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第
A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是______________.
参考答案:
60,16
略
16. 若角满足,则的取值范围是_____________。
参考答案:
略
17. 函数的定义域是 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=logm(m>0且m≠1),
(I)判断f(x)的奇偶性并证明;
(II)若m=,判断f(x)在(3,+∞)的单调性(不用证明);
(III)若0<m<1,是否存在β>α>0,使f(x)在[α,β]的值域为[logmm(β-1),logm(α-1)]?若存在,求出此时m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)f(x)是奇函数(Ⅱ)见解析(Ⅲ).
【分析】
(Ⅰ)先求定义域,再判断与f(x)关系,最后根据奇偶性定义作判断与证明,(Ⅱ)根据单调性定义进行判断,(Ⅲ)先根据单调性确定方程组,转化为一元二次方程有两正根,再根据二次方程实根分布列方程,最后解不等式组得结果.
【详解】解:(Ⅰ)f(x)是奇函数;证明如下:
由解得x<-3或x>3,
所以f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),关于原点对称.
∵=,
故f(x)为奇函数/
(Ⅱ)任取x1,x2∈(3,+∞)且x1<x2,
=,
∵(x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)<0,∴(x1-3)(x2+3)<(x1+3)(x2-3),
即,
当m=时,,即f(x1)<f(x2).
故f(x)在(3,+∞)上单调递减.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当0<m<1时,f(x)在[α,β]上单调递减.
假设存在β>α>0,使f(x)在[α,β]的值域为[logmm(β-1),logm(α-1)].
则有,∴.
所以α,β是方程的两正根,
整理得mx2+(2m-1)x-3m+3=0在(0,+∞)有2个不等根α和β.
令h(x)=mx2+(2m-1)x-3m+3,则h(x)在(0,+∞)有2个零点,
解得,
故m的取值范围为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及一元二次方程实根分布,考查数形结合思想方法以及等价转化思想方法,考查综合综合分析与求解能力,属难题.
19. 已知
(1)求f(x)的定义域
(2)判断f(x)的奇偶性并证明
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
参考答案:
【考点】其他不等式的解法;函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;不等式的解法及应用.
【分析】(1)利用对数的真数大于0,解不等式即可求出f(x)的定义域
(2)直接利用函数的奇偶性的定义判断即可.
(3)转化f(x)>0,利用对数函数的单调性求解不等式即可得到x的取值范围.
【解答】解:(1)∵,∴﹣1<x<1
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称
又∵
所以为奇函数
(3)∵f(x)>0,即∵以e为底的对数是增函数∴,∴0<x<1
所以f(x)>0的x取值范围为{x|0<x<1}
【点评】本题考查函数的定义域,函数的奇偶性,以及对数函数的单调性的应用,考查计算能力.
20. 若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出:
(1)A∪B=R的一个充要条件;
(2)A∪B=R的一个必要不充分条件;
(3)A∪B=R的一个充分不必要条件.
参考答案:
解:集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},
(1)若A∪B=R,则b≥-2,
故A∪B=R的一个充要条件是b≥-2.
(2)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2,
所以A∪B=R的一个必要非充分条件可以是b≥-3.
(3)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2,
所以A∪B=R的一个充分非必要条件可以是b≥-1.
21. (本小题满分14分)设函数,其中向量,.
(1)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) .2分
4分
∴函数最小正周期, 6分
在上的单调递增区间为、.8分
(2)∵当时,递增,
∴当时,的最大值等于.10分
当时,的最小值等于.12分
由题设知 14分
解之得,.15分
22. (本小题满分14分)
在数列中,且满足.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设求.
参考答案:
解:(1)因为,则
所以数列是等差数列,设其公差为.
由,得=2.
又因为,所以数列的通项公式为.
(2)由,得.
所以当时,;当时,.
当时,==;
当时,=
=
=40+=.
所