2022年河北省承德市孟家院乡中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点列An(an,bn)(n∈N*)均为函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,点列Bn(n,0)满足|AnBn|=|AnBn+1|,若数列{bn}中任意连续三项能构成三角形的三边,则a的取值范围为( )
A.(0,)∪(,+∞) B.(,1)∪(1,)
C.(0,)∪(,+∞) D.(,1)∪(1,)
参考答案:
B
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】根据题意,得出an、bn的解析式,讨论a>1和0<a<1时,满足的条件,从而求出a的取值范围.
【解答】解:由题意得,点Bn(n,0),An(an,bn)满足|AnBn|=|AnBn+1|,
由中点坐标公式,可得BnBn+1的中点为(n+,0),
即an=n+,bn=;
当a>1时,以bn﹣1,bn,bn+1为边长能构成一个三角形,
只需bn﹣1+bn+1>bn,
bn﹣1<bn<bn+1,
即+>,
即有1+a2<a,
解得1<a<;
同理,0<a<1时,解得<a<1;
综上,a的取值范围是1<a<或<a<1,
故选:B.
2. 已知为实数,命题甲:,命题乙:,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
3. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( )
A.x2﹣=1
B.x2﹣y2=15
C.﹣y2=1
D.﹣=1
参考答案:
C
考点:双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于 ,建立方程组,求出几何量,即可求得双曲线的标准方程.
解答: 解:抛线线y2=4x的焦点(,0)
∴c2=a2+b2=10,e==.
∴a=3,b=1,
∴该双曲线的方程为.
故选C.
点评:本题考查抛物线的性质,考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.
4. 已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数,且,,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12
解析:因为且,即在是增函数,所以.而在不是增函数,而,所以当是增函数时,有,所以当不是增函数时,有.综上所述,可得的取值范围是.
【思路点拨】由已知可得在不是增函数,而,所以当是增函数时,有,所以当不是增函数时,有.综上所述,可得的取值范围是.
5. 函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
故.
6. 在复平面内,设复数,对应的点关于实轴对称,(i是虚数单位),则( )
A. 5 B. -5 C. D.
参考答案:
A
【分析】
求得,然后计算出的值.
【详解】依题意可知,故,故选A.
【点睛】本小题主要考查复数的对称性,考查复数的乘法运算,属于基础题.
7. 执行如图所示的程序框图,则输出的k的值是( )
A. 120 B. 105 C. 15 D. 5
参考答案:
考点: 循环结构.
专题: 算法和程序框图.
分析: 据题意,模拟程序框图的运行过程,得出程序框图输出的k值是什么.
解答: 解:第一次循环得到:k=1,i=3;
第二次循环得到:k=3,i=5;
第三次循环得到:k=15,i=7;满足判断框中的条件,退出循环
∴k=15
故选C
点评: 本题考查了求程序框图的运行结果的问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出结论,是基础题.
8. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到图象,若关于x的方程在上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-2,2) C.[1,2) D.[-1,2)
参考答案:
C
9. 已知函数f(x)=|x|+,则函数y=f(x)的大致图像为 ( )
参考答案:
B
略
10. 向量=(1,-2),=(2,1),则( )
A. // B. ⊥ C. 与的夹角是60° D. 与的夹角是30°
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,
将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到
如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学
生500名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的
学生人数为_________.
参考答案:
略
12. 已知实数,满足约束条件,若目标函数仅在点取得最小值,则的取值范围是 .
参考答案:
不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,
∴,,.
∴,解得.
13. 抛物线的准线方程为 .
参考答案:
14. 已知,,若偶函数满足(其中m,n为常数),且最小值为1,则________.
参考答案:
略
15. 已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____________.
参考答案:
32
16. (2013·山东)函数的定义域为________.
参考答案:
17. 若数列是等差数列,则数列也为等差数列,类比上述性质,若数列是等比数列,且,则有________也是等比数列.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列{an},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+an)+p=2(a1+a2…+an),(其中k、b、p是常数).
(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,求a1+a2+a3+…+an;
(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当k=1,b=0,p=0时,设Sn是数列{an}的前n项和,a2﹣a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{an},使得对任意n∈N*,都有Sn≠0,且.若存在,求数列{an}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,3(a1+an)﹣4=2(a1+a2…+an),①
用n+1去代n得,3(a1+an+1)﹣4=2(a1+a2…+an+an+1),②
②﹣①得,3(an+1﹣an)=2an+1,an+1=3an,(2分)
在①中令n=1得,a1=1,则an≠0,∴,
∴数列{an}是以首项为1,公比为3的等比数列,
∴a1+a2+a3+…+an=.
(2)当k=1,b=0,p=0时,n(a1+an)=2(a1+a2…+an),③
用n+1去代n得,(n+1)(a1+an+1)=2(a1+a2…+an+an+1),④
④﹣③得,(n﹣1)an+1﹣nan+a1=0,⑤(6分)
用n+1去代n得,nan+2﹣(n+1)an+1+a1=0,⑥
⑥﹣⑤得,nan+2﹣2nan+1+nan=0,即an+2﹣an+1=an+1﹣an,
∴数列{an}是等差数列.
∵a3=3,a9=15,∴公差,∴an=2n﹣3.
(3)由(2)知数列{an}是等差数列,∵a2﹣a1=2,∴an=a1+2(n﹣1).
又{an}是“封闭数列”,得:对任意m,n∈N*,必存在p∈N*使a1+2(n﹣1)+a1+2(m﹣1)=a1+2(p﹣1),
得a1=2(p﹣m﹣n+1),故a1是偶数,
又由已知,,故.
一方面,当时,Sn=n(n+a1﹣1)>0,对任意n∈N*,都有.
另一方面,当a1=2时,Sn=n(n+1),,则,
取n=2,则,不合题意.
当a1=4时,Sn=n(n+3),,则,
当a1≥6时,Sn=n(n+a1﹣1)>n(n+3),,,
又,
∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10.
略
19. 已知直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ﹣).
(1)求直线l的参数方程化为普通方程,将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求圆C上的点到直线l距离的取值范围.
参考答案:
考点:参数方程化成普通方程.
专题:直线与圆;坐标系和参数方程.
分析:(1)直接消掉参数t得直线l的普通方程,把ρ=4cos(θ﹣)右边展开两角差的余弦,再同时乘以ρ后结合
x=ρcosθ,y=ρsinθ得到圆C的直角坐标方程;
(2)由圆的直角坐标方程得到圆心坐标和半径,再由点到直线的距离求出圆心到直线的距离,则答案可求.
解答: 解:(1)由(t为参数)得直线l的普通方程为
又∵,
∴,
∴,即;
(2)由得圆心C(1,),半径r=2.
∴圆心C到直线l的距离d=.
直线l与圆C相离.
∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是.
点评:本题考查了参数方程化普通方程,考查了直线与圆的位置关系,是基础题.
20. 设函数f(x)=sinx﹣cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】对函数f(x)=sinx﹣cosx+x+1求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.
【解答】解:由f(x)=sinx﹣cosx+x+1,0<x<2π,知f'(x)=1+sin(x+).
令f'(x)=0,从而可得sin(x+)=﹣,得x=π,或x=,
当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表:
x
(0,π)
π
()
()
f'(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
单调递增↑
π+2
单调递减↓
单调递增↑
因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与(,2π),
单调递减区间是(π,),极小值为,极大值为f(π)=π+2
【点评】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力.对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点.
21. 已知函数
(1).求f(x)的最小正周期;
(2).设,求f(x)的值域和单调递增区间.
参考答案:
(1).
∴的最小正周期为
(2).因为
所以
则根据正弦定理得图像可知
所以函数的值域为
(2)根据函数式可知,当递增
则令,解得
又因为
所以
故的单调递增区间为
22. 已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上,圆心在直线上的圆E与x轴相切,且E,F关于点对称.
(1)求E和的标准方程;
(2)过点M的直线与E交于A,B,与交