2022年浙江省宁波市桃源中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若ABCD是正方形,E是CD的中点,且,,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于( )
A 30 B 45 C 90 D 186
参考答案:
C
略
3. 下列命题正确的是( ▲ )
A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行;
B.平行于同一个平面的两条直线平行;
C.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面;
D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行.
参考答案:
D
略
4. 从双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为( )
A.|MO|﹣|MT|>b﹣a B.|MO|﹣|MT|<b﹣a
C.|MO|﹣|MT|=b﹣a D.|MO|﹣|MT|与b﹣a无关
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】如图所示,设F′是双曲线的右焦点,连接PF′.利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得:|OM|=|PF′|=(|PF|﹣2a)==|MF|﹣a,于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a,连接OT,则OT⊥FT,在Rt△FOT中,|OF|=c,|OT|=a,可得|FT|==b.即可得出关系式.
【解答】解:如图所示,
设F′是双曲线的右焦点,连接PF′.
∵点M,O分别为线段PF,FF′的中点.
由三角形的中位线定理可得:
|OM|=|PF′|=(|PF|﹣2a)==|MF|﹣a,
∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a,
连接OT,则OT⊥FT,在Rt△FOT中,|OF|=c,|OT|=a,
∴|FT|===b.
∴|OM|﹣|MT|=b﹣a.
故选:C.
5. 已知数列{an}是等差数列,若,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为( )
A. 11 B. 12 C. 21 D. 22
参考答案:
C
由题意得,由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减,d<0.所以
,所以,所以n=21,选C.
6. 设函数,当自变量由改变到时,函数的改变量为( )
A. B.
C D.
参考答案:
D
7. 已知圆柱的底面半径为2,高为3,用一个与底面不平行的平面去截,若所截得的截面为椭圆,则椭圆的离心率的最大值为
A. 1 B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是( )
A.k<1或k>9 B.1<k<9 C.1<k<9且k≠5 D.5<k<9
参考答案:
D
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】方程表示焦点在y轴的椭圆,可得x2、y2的分母均为正数,且y2的分母较大,由此建立关于k的不等式,解之即得k的取值范围.
【解答】解:∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,
∴k﹣1>9﹣k>0,
∴5<k<9.
故选:D.
9. 已知函数的图像与轴切于点,则的极大值、极小值分别为( ).
A. ,0 B.0, C. ,0 D.0,
参考答案:
A
略
10. 已知既有极大值又有极小值,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以线段F1,F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P,与y轴交于B,D两点,且与双曲线的一条渐近线交于M,N两点,则下列命题正确的是 .(写出所有正确的命题编号)
①线段BD是双曲线的虚轴;
②△PF1F2的面积为b2;
③若∠MAN=120°,则双曲线C的离心率为;
④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a.
参考答案:
②③④
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可.
【解答】解:①以线段F1,F2为直径的圆O的半径R=c,则B(0,c),D(0,c),
则线段BD不是双曲线的虚轴;故①错误,
②∵三角形PF1F2是直角三角形,
∴PF12+PF22=4c2,
又PF1﹣PF2=2a,
则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2,
即4a2﹣2PF1PF2=4c2,
则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2,
则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2,故②正确,
③由得或,
即M(a,b),N(﹣a,﹣b),
则AN⊥x轴,
若∠MAN=120°,
则∠MAx=30°,
则tan30°==,平方得=,
即=,
则双曲线C的离心率e=====;故③正确,
④设内切圆与x轴的切点是点H,PF1、PF2分 与内切圆的切点分别为M1、N1,
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,由圆的切线长定理知,|PM1|=|PN1|,
故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a,
即|HF1|﹣|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x,则点H的横坐标为x,
故(x+c)﹣(c﹣x)=2a,∴x=a.
即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a.故④正确,
故答案为:②③④
12. 设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为 .
参考答案:
13. 函数的最大值为________
参考答案:
1
14. 过点的直线交直线于点,则点分有向线段,则的值为________.高考资源网
参考答案:
略
15. 若复数z满足方程(是虚数单位),则z= .
参考答案:
略
16. 设F为抛物线的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若,则 .
参考答案:
6
17. 设函数,则= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:其余情况无奖,且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.
参考答案:
(1);(2)分布列见解析.
【分析】
(1)根据超几何分布概率公式可求得结果;(2)首先确定所有可能的取值,再分别求解出对应的概率,从而可得分布列.
【详解】(1)设表示摸到个红球,则恰好摸到个红球的概率为:
(2)的所有可能值为,,,
则;;
;
的分布列为:
19. 、(12分) 在中,已知顶点,高所在的直线方程为,中线所在的直线方程为上,
(1) 求顶点的坐标; (2) 求边所在的直线方程.
参考答案:
(1) ;(2) .
20. 栀子原产于中国,喜温暖湿润、阳光充足的环境,较耐寒.叶,四季常绿;花,芳香素雅.绿叶白花,格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物,一段时间后,从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度,并以此测量数据作为样本,得到该样本的频率分布直方图(单位:m),其中不大于1.50(单位:m)的植株高度茎叶图如图所示.
(1)求植株高度频率分布直方图中a,b,c的值;
(2)在植株高度频率分布直方图中,同一组中的数据用该区间的中点值代表,植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率,估计这批栀子植株高度的平均值.
参考答案:
(1);(2)1.60.
【分析】
(1)根据茎叶图可得频率,从而可计算.
(2)利用组中值可计算植株高度的平均值.
【详解】(1)由茎叶图知,.
由频率分布直方图知
,
所以.
(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值
.
【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用,属于基础题.
21. 已知命题:方程有两个不相等的负实根,命题:恒成立;若或为真,且为假,求实数的取值范围.
参考答案:
当真时,可得,解之得
当真时,得到:,解之得
∵或为真,且为假 ∴真假或假真
若真假时,由
若假真时,由
所以的取值范围为.
略
22. 如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】(I)欲证DE∥AB,连接BD,因为D为的中点及E为BC的中点,可得DE⊥BC,因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论;
(II)欲证AC?BC=2AD?CD,转化为AD?CD=AC?CE,再转化成比例式=.最后只须证明△DAC∽△ECD即可.
【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.
因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,
所以AB∥DE.…
(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
所以=,AD?CD=AC?CE,2AD?CD=AC?2CE,
因此2AD?CD=AC?BC.…