2022年辽宁省大连市第八十七中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知a、b、l表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若且则;
②若a、b相交,且都在外,,则;
③若,则;
④若则.
其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
参考答案:
B
2. 函数f(x)=+lg(x+2)的定义域为( )
A.(﹣2,1) B.(﹣2,1] C.[﹣2,1) D.[﹣2,﹣1]
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.
【专题】计算题.
【分析】根据题意可得,解不等式可得定义域.
【解答】解:根据题意可得
解得﹣2<x≤1
所以函数的定义域为(﹣2,1]
故选B
【点评】本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型:分母不为0②对数函数:真数大于0,求函数定义域的关键是根据条件寻求函数有意义的条件,建立不等式(组),进而解不等式(组).
3. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 为了得到函数的图像,只需将的图像上每一点
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
参考答案:
D
5. 已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
6. 已知△ABC中,a=4,,,则B等于( )
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
参考答案:
D
【分析】
利用正弦定理计算B,注意有两个解.
【详解】由正弦定理得,故,
所以,又,故或.所以选D.
【点睛】三角形中共有七个几何量(三边三角以及外接圆的半径),一般地,知道其中的三个量(除三个角外),可以求得其余的四个量.
(1)如果知道三边或两边及其夹角,用余弦定理;
(2)如果知道两边即一边所对的角,用正弦定理(也可以用余弦定理求第三条边);
(3)如果知道两角及一边,用正弦定理
7. 已知集合A=,B=映射:A,使A中任意元素与B中元素对应,则B中元素17的原象是( )
A、3 B、5 C、17 D、9.
参考答案:
D
8. 若集合,集合,则A∩B=
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
先化简集合A,B,再求A∩B.
【详解】由题得,,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题,
9. 直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行,则a的值是( )
A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣1或2
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】利用直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行的充要条件,即可求得a的值.
【解答】解:∵直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行
∴1×2﹣a(a+1)=0
∴a2+a﹣2=0
∴a=﹣2或a=1
当a=﹣2时,直线x﹣2y﹣7=0与直线﹣x+2y﹣14=0互相平行;
当a=1时,直线x+y﹣7=0与直线2x+2y﹣14=0重合,不满足题意;
故a=﹣2
故选B.
10. 下列各式中,值为的是( )
A.sin15°cos15° B.cos2﹣sin2
C. D.
参考答案:
D
【考点】二倍角的正切;同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
【分析】A,B选项通过二倍角公式求得结果均不为,C项代入cos也不得.
【解答】解:sin15°cos15°=sin30°=,排除A项.
cos2﹣sin2=cos=,排除B项.
==,排除C项
由tan45°=,知选D.
故选D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的零点是 ;
参考答案:
12. 已知集合,,设集合同时满足下列三个条件:①;②若,则;③若,则.
()当时,一个满足条件的集合是__________.(写出一个即可).
()当时,满足条件的集合的个数为__________.
参考答案:
(),(,,,任写一个)
()
()时,集合,
由①;②若,则;③若,则;可知:
当时,则,即,则,即,但元素与集合的关系不确定,故
或;
当时,则,,元素与集合的关系不确定,
故,或.
()当时,集合,
由①;②若,则;③,则,可知:
,必须同属于,此时属于的补集;或,必须同属于的补集,此时属于;
属于时,属于的补集;属于的补集,属于;而元素,没有限制.
故满足条件的集合共有个.
13. 已知集合,, 若,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
14. 若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
{a|a≤﹣6,或a≥2}
【考点】3W:二次函数的性质.
【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集,即b2﹣4ac≥0即可,从而求出a的取值范围.
【解答】解:∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3,
∴x2﹣ax﹣a+3≤0;
∴a2﹣4(﹣a+3)≥0,
即a2+4a﹣12≥0;
解得a≤﹣6,或a≥2,
此时原不等式的解集不是空集,
∴a的取值范围是{a|a≤﹣6,或a≥2};
故答案为:{a|a≤﹣6,或a≥2}.
15. 函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数=2+1()是单函数.下列结论:①函数(xR)是单函数;②指数函数(xR)是单函数;③若为单函数,且,则;④若在定义域上是单调函数,则一定是单函数.其中结论正确是_________.(写出所有你认为正确的编号)
参考答案:
16. 在△ABC中,已知,,则的取值范围是________.
参考答案:
【分析】
AB=c,AC=b,根据余弦定理可得,,由不定式的基本性质再结合角,可得的范围。
【详解】由题,
,
又,,则有。
【点睛】本题考查用余弦定理和不等式的基本性质,求角的余弦值的取值范围,属于一般题。
17. 给出下面的3个命题:(1)函数的最小正周期是;
(2)函数在区间上单调递增;
(3)是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 .
参考答案:
①②
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边.
(1)若△ABC的面积,求a,b的值;
(2)若,且,试判断△ABC的形状.
参考答案:
(1);(2)等腰直角三角形。
试题分析:(1)解三角形问题,一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边,得,再由由余弦定理得:,所以,(2)判断三角形形状,利用边的关系比较直观. 因为,所以由余弦定理得:,所以,在中,,所以,所以是等腰直角三角形.
解:(1), 2分
,得3分
由余弦定理得:, 5分
所以6分
(2)由余弦定理得:,所以9分
在中,,所以11分
所以是等腰直角三角形; 12分
考点:正余弦定理
19. (14分)已知全集U=R,集合A={x|x﹣1≥0},B={x|(x+1)(x﹣2)≤0}.
(1)求A∩B
(2)求?U(A∪B)
参考答案:
考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 求出集合A,B,利用集合的基本运算进行求解即可.
解答: (1)由题意得A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={x|(x+1)(x﹣2)≤0}={x|﹣1≤x≤2}.
所以A∩B={x|1≤x≤2}
(2)因为A∪B={x|x≥﹣1},
所以?U(A∪B)={x|x<﹣1}
点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.
20. 已知数列,首项a 1 =3且2a n=S n ·S n-1 (n≥2).
(1)求证:{}是等差数列,并求公差;
(2)求{a n }的通项公式;
(3)数列{an }中是否存在自然数k0,使得当自然数k≥k 0时使不等式a k>a k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.
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参考答案:
解:(1).由已知当
(2).
(3).
略
21. (本小题满分12分)
已知函数
(1)是否存在实数,使得函数的定义域、值域都是,若存在,则求出的值,若不存在,请说明理由.
(2)若存在实数,使得函数的定义域为时,值域为
(),求的取值范围.
参考答案:
解:(1)若存在满足条件的实数,使得函数的定义域、值域都是,则由题意知
① 当时,在上为减函数.故即 解得,故此时不存在适合条件的实数
②当时,在上是增函数. 故即,此时是方程的根,此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数
③当时, 由于,而,故此时不存在适合条件的实数,综上可知,不存在适合条件的实数.
(2)若存在实数,使得函数的定义域为时,值域为
则
①当时,由于在上是减函数,值域为,
即此时异号,不合题意.所以不存在.
②当或时,由(1)知0在值域内,值域不可能是,所以不存在,故只有
又因为在上是增函数, 即
是方程的两个根,即关于的方程有两个大于的实根.设这两个根为 则
所以 即 解得
故的取值范围是
略
22. 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0},A∩B=B,求实数a的值.
参考答案:
【考点】交集及其运算.
【分析】求解一元二次方程化简集合A,根据A∩B=B得到B?A,然后分B为空集、单元素集合及双元素集合讨论求解a的值.
【解答】解:由A={x|x2+4x=0}={0,﹣4},又A∩B=B,∴B?A
(1)若B=?,则x2+2(a+1)x+a2﹣1=0的判别式小于0,即4(a+1)2﹣4(a2﹣1)<0,
∴a<﹣1.
(2)若B={0},把x=0代入方程得a=±1
当a=1时,B={﹣4,0}≠{0}.
当a=﹣1时,B={0},∴a=﹣1.
(3)若B={﹣4}时,把x=﹣4代入得a=1或a=7.
当a=1时,B={0,﹣4}≠{﹣4},∴a≠1.
当a=7时,B={﹣4,﹣12}≠{﹣4},∴a≠7.
(4)若B={0,﹣4},则a=1,当a=1时,B={0,﹣4},∴a=1
综上所述:a≤﹣1或a=1.