天津第六十七中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为( )
A.36 B.48 C.56 D.64
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】依题意联立方程组消去y,进而求得交点的坐标,进而根据|AP|,|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积.
【解答】解:直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A,B两点,
过A,B两点向抛物线的准线:x=﹣1作垂线,垂足分别为P,Q,
联立方程组得,
消元得x2﹣10x+9=0,
解得,和,
即有A(9,6),B(1,﹣2),
即有|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,
梯形APQB的面积为×(10+2)×8=48,
故选B.
【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系.常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径.
2.
参考答案:
D
略
3. 某导弹发射的事故率为0.001,若发射10次,记出事故的次数为,则( )
A. 0.0999 B. 0.00999 C. 0.01 D. 0.001
参考答案:
B
【分析】
由题意知本题是在相同的条件下发生的试验,发射的事故率都为0.001,实验的结果只有发生和不发生两种结果,故本题符合独立重复试验,由独立重复试验的方差公式得到结果.
【详解】由于每次发射导弹是相互独立的,且重复了10次,所以可以认为是10次独立重复试验,故服从二项分布,.故选B.
【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时,主要依据概率的有关概念和运算,同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布,若服从特殊的分布则运算要简单的多.
4. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是( )
A.-3<m<0 B. -3<m<2 C. -3<m<4 D.-1<m<3
参考答案:
A
由题意知,,则C,D均不正确,而B为充要条件,不合题意,故选A.
5. 查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到如下的数据:
出生时间
性别
晚上
白天
合计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
合计
32
57
89
则认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
7. 已知函数,g(x)=x2-2bx+4,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数b的取值范围是( )
A. B.[1,+∞] C. D.[2,+∞]
参考答案:
C
8. 与向量共线的单位向量是 ( )
A. B.和
C. D.和
参考答案:
D
9. 已知,,,,下列说法正确的是( )
A.若,,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
D
因为,,,所以A错;
因为,,所以B错;
因为,,所以C错;
由不等式性质得若,则,所以D对,故选D.
10. 方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,若对任意,均满足,则实数m的取值范围是___________.
参考答案:
试题分析:由可知在上为增函数,所以在R上恒成立,而,所以,所以;
考点:1.函数的单调性;2.导数研究函数的单调性;
12. 若对于任意实数,有,则的值为 .
参考答案:
6
略
13. 已知,,且对任意都有:
① ②
给出以下三个结论:(1); (2); (3)
其中正确结论为 ___
参考答案:
①②③
略
14. 一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为 .
参考答案:
(x﹣)2+y2=
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.
【解答】解:一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.
可知椭圆的右顶点坐标(4,0),上下顶点坐标(0,±2),
设圆的圆心(a,0),则,解得a=,
圆的半径为:,
所求圆的方程为:(x﹣)2+y2=.
故答案为:(x﹣)2+y2=.
15. 若x,y为正实数,则的最大值为_______.
参考答案:
【分析】
设恒成立,可知;将不等式整理为,从而可得,解不等式求得的取值范围,从而得到所求的最大值.
【详解】设恒成立,可知
则:恒成立
即:恒成立
,
解得: 的最大值为:
本题正确结果:
【点睛】本题考查最值的求解问题,关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题,从而构造出不等式求解出的取值范围,从而求得所求最值,属于较难题.
16. 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为,已知,则角C的大小为 。
参考答案:
90°
17. 数据5,7,7,8,10,11的标准差是
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)当时取得极小值求的值;
(Ⅱ)当时,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)解得: ……………(4分)
……………(6分)
(2), ………(7分)
:上恒成立,在上单调递减
则 ………(10分)
: 在上单调减,上单调递增
,故无解 …………(13分)
综上所求的取值范围是: ………(14分)
略
19. (9分) 已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的极小值;
(Ⅱ)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量
使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明
理由?
参考答案:
(Ⅰ)定义域为,由已知得, ………2分
则当时, 在上是减函数,
当时, 在上是增函数,
故函数的极小值为. …………………………6分
(Ⅱ)若存在,设,
则对于某一实数方程在上有三个不等的实根,
设,
则函数的图象与x轴有三个不同交点,
即在有两个不同的零点.……9分
显然在上至多只有一个零点
则函数的图象与x轴至多有两个不同交点,
则这样的不存在。 ……………………13分
20. 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={(x,y)|0<x<60,0<y<60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积,写出满足条件的事件A═{(x,y)|0<x<60,0<y<60,|x﹣y|≤15}对应的集合和面积,根据面积之比得到概率.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,
∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={(x,y)|0<x<60,0<y<60}
集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60,
而满足条件的事件对应的集合是A={(x,y)|0<x<60,0<y<60,|x﹣y|≤15}
得到SA=60×60﹣(60﹣15)×(60﹣15)
∴两人能够会面的概率P==,
∴两人能够会面的概率是.
21. (13分)已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
参考答案:
【考点】: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: (Ⅰ)根据椭圆离心率为,右焦点为(,0),可知c=,可求出a的值,再根据b2=a2﹣c2求出b的值,即可求出椭圆G的方程;
(Ⅱ)设出直线l的方程和点A,B的坐标,联立方程,消去y,根据等腰△PAB,求出直线l方程和点A,B的坐标,从而求出|AB|和点到直线的距离,求出三角形的高,进一步可求出△PAB的面积.
解:(Ⅰ)由已知得,c=,,
解得a=,又b2=a2﹣c2=4,
所以椭圆G的方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),
则x0==﹣,
y0=x0+m=,
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=,
解得m=2.
此时方程①为4x2+12x=0.
解得x1=﹣3,x2=0,
所以y1=﹣1,y2=2,
所以|AB|=3,此时,点P(﹣3,2).
到直线AB:y=x+2距离d=,
所以△PAB的面积s=|AB|d=.
【点评】: 此题是个中档题.考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质,以及直线与椭圆的位置关系,同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
22. 设数列{an}的前n项和为Sn,且,等差数列{bn}的前n项和为,
(I)求数列{an},{bn}的通项公式;
(II)设,求数列{cn}的前n项和.
(Ⅲ)对任意,将数列{bn}中落入区间内的项的个数记为,求数列的前m项和.
参考答案:
(Ⅰ) 当时, -----①-------②
②-①得 即 由条件可计算,又
∴ 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
∴ ………………3分
等差数列 ………………4分
(没有验证扣1分)
(II)由(I)知
所以 ①
② ………………6分
①-②,得
……………………9分
(Ⅲ)由题知,数列中落入区间内,即,所以。
所以数列中落入区间内的项的个数为,
所以,
所以……………………12分