天津静海县第五中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在圆内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则
四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 函数(,且)的图象恒过定点,且点在角的终边上,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
令对数的真数等于1,求得x、y的值,可得定点A的坐标,再利用任意角的三角函数的定义求得,再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,求得的值.
【详解】对于函数且,令,求得,,
可得函数的图象恒过点,且点A在角的终边上,
,则,
故选:C.
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,属于基础题.
3. 复数(为虚数单位),在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
4. 是虚数单位,计算=
(A) 1 (B) -1 (C) (D) -
参考答案:
C
略
5. 函数的零点所在的区间为( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
参考答案:
B
6. 图为一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图完全相同,则该几何体的体积为_ _
参考答案:
7. 已知全集U=R,集合,则
A. (-∞,2) B. (-∞, -2]∪[2,+∞) C. (-∞, -2)∪(2,+∞) D.[-2,2]
参考答案:
C
8. 点P为双曲线的右支上一点,M,N分别是圆和圆上的点,则的最大值为 ( )
A.8 B.9 C. 10 D.7
参考答案:
B
在双曲线中, 为双曲线的右支上一点,所以 分别是圆和上的点,则则
所以最大值为9.
9. 满足的( )
A.存在且有无限个 B.存在且只有有限个
C.存在且唯一 D.不存在
参考答案:
A
10. 已知外接圆的半径为,且.,从圆内随机取一个点,若点取自内的概率恰为,则的形状为( )
(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令,则= 。
参考答案:
略
12. 已知数列{}满足a1=2,=3一2,求=____.
参考答案:
13. 已知幂函数的图像过点,则此幂函数的解析式是_____________.
参考答案:
14. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 * * * * .
参考答案:
15. 已知向量=(,1),=(+3,-2),若∥,则x=_____
参考答案:
16. 设函数f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的 条件
参考答案:
充要
略
17. 已知函数的图象向右平移个单位后与原图象关于轴对称,则的最小值是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若,△ABC的面积为,M为BC的中点,求AM.
参考答案:
(1) 由,
得. ……………………………………………2分
由正弦定理,得,即, …………………………3分
所以. ………………………………………………5分
因为,所以. ……………………………………………………6分
(2)因为,所以. ……………………………………………………7分
所以为等腰三角形,且顶角.
因为, ………………………………………………8分
所以. ………………………………………………………………9分
在中,,
所以. ………11分
解得.…………………………………………………………………………12分
19. (本小题满分15分)已知函数在处的切线斜率为零。
⑴求和的值;
⑵求证:在定义域内恒成立;
⑶若函数有最小值,且,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(1)
由题意有即,解得或(舍去)
得即解得
⑵证明:由⑴知
在区间上,有在区间上,有
故在区间单调递减,在单调递增
于是函数在上的最小值
故当时,有恒成立
⑶,当时,则
,当且仅当时等号成立,
故的最小值,符合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意,
综上,实数的取值范围是
略
20. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地.
(1)若该超市一天购进A水果160千克,求当天A水果获得的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:千克,)的函数解析式,并求当时n的值;
(2)为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位:千克)整理得下表:
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
频数
5
10
8
8
7
7
5
假设该超市在这50天内每天购进A水果160千克,求这50天该超市A水果获得的日利润(单位:元)的平均数.
参考答案:
(1)当日需求量时,利润;
当日需求量时,利润.
所以关于的函数解析式为,
当时,由,得.
(2)这天中有天的利润为元,有天的利润为元,由天的利润为元,
所这天该超市水果获得的日利润的平均数为.
21. 已知都是正数
(Ⅰ)若,求的最大值;
(Ⅱ)若,求的最小值.
参考答案:
略
22. 为了迎接2019年全国文明城市评比,某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求;
(2)在(1)的条件下,文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元)
20
40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望.
附:①;
②若,则,,.
参考答案:
(1)P(36<Z≤79.5)=0.8186;
(2)X的分布列为
X
20
40
60
80
P
X的数学期望为.
【分析】
(1)根据题中所给的统计表,利用公式求得其平均数,即正态分布对应的,再利用数据之间的关系,,利用题中所给的数据,以及正态分布的概率密度曲线的对称性,求得对应的概率;
(2)根据题意,高于平均数和低于平均数的概率各占一半,再结合得20、40元的概率,分析得出话费的可能数据都有哪些,再利用公式求得对应的概率,进而列出分布列,之后应用离散型随机变量的分布列求得其期望.
【详解】(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得
,
又,,
所以P(36<Z≤79.5);
(2)根据题意,可以得出所得话费的可能值有元,
得20元的情况为低于平均值,概率,
得40分的情况有一次机会获40元,2次机会2个20元,概率,
得60分的情况为两次机会,一次40元一次20元,概率,
得80分的其概况为两次机会,都是40元,概率为,
所以变量X的分布列为:
X
20
40
60
80
P
所以其期望为.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题,涉及到的知识点有平均数的求法,正态分布的性质,离散型随机变量的分布列,属于中档题目.