山东省淄博市临淄区梧台镇中学高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为( )
A. 6 B. C. 3 D. 12
参考答案:
A
【分析】
先求导数得切线斜率,再根据点斜式得切线方程,最后求切线与坐标轴交点,计算面积.
【详解】的导数为,,
可得在点处的切线斜率为:-3,即有切线的方程为.
分别令,可得切线在,轴上的截距为6,2.
即有围成的三角形的面积为:.
故选:A.
【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属基础题.
2. 在中,角的对边分别是,已知,则( )
A. B. C. D.或
参考答案:
B
略
3. 直线y = x + 3和曲线 –+= 1的交点的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
参考答案:
D
4. 直线和圆交于两点,则的中点坐标为( )
A B C D
参考答案:
D
5. 点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
6. 同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是( )
A. 4; B. C. ; D.
参考答案:
B
7. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球 D.至少有1个白球,都是红球
参考答案:
C
8. 如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱
参考答案:
C
【考点】棱台的结构特征.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断,能够求出结果.
【解答】解:图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;
图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;
图③是棱锥.
图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.
故选C.
【点评】本题考查几何体的结构特征,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.
9. 若关于x的不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为( )
A.e+1 B.e+ C. D.
参考答案:
C
【考点】函数恒成立问题.
【分析】利用不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,利用导函数研究单调性求出a,b的关系,再次利用导函数研究单调性(a+1)b的最大值.
【解答】解:不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,令f(x)=ex﹣(a+1)x﹣b,则f(x)≥0在R上恒成立.
只需要f(x)min≥0即可.
f′(x)=ex﹣(a+1)
令f′(x)=0,
解得x=ln(a+1),(a>﹣1)
当x∈(﹣∞,ln(a+1))时,f′(x)<0,则f(x)时单调递减.
当x∈(ln(a+1),+∞)时,f′(x)>0,则f(x)时单调递增.
故x=ln(a+1)时,f(x)取得最小值
即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b
那么:(a+1)2[1﹣ln(a+1)]≥b(a+1)
令(a+1)=t,(t>0)
则现求g(t)=t2﹣t2lnt的最大值.
g′(t)=
令g′(t)=0,解得:t=
得极大值为g()=
∴(a+1)b的最大值为.
故选C.
10. 点在空间直角坐标系中的位置是在( )
A.轴上 B.平面上 C.平面上 D.第一卦限内
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递减区间为 .
参考答案:
(0,2)
12. 将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过的概率___________
参考答案:
略
13. 中,,则= ▲ .
参考答案:
14. 设随机变量ξ的概率分布列为,,则 .
参考答案:
∵所有事件发生的概率之和为1,即P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1,∴,∴c=,∴ P(ξ=k)=,∴P(ξ=2)=.故答案为.
15. 已知直线l的斜率为-1,则它的倾斜角为 .
参考答案:
135°
斜率为,设倾斜角为,则,有.
16. 对于函数f(x)给出定义:
设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.
某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,计算
= .
参考答案:
2016
【考点】63:导数的运算;3T:函数的值.
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(,1)对称,即f(x)+f(1﹣x)=2,即可得到结论.
【解答】解:由,
∴f′(x)=x2﹣x+3,
所以f″(x)=2x﹣1,由f″(x)=0,得x=.
∴f(x)的对称中心为(,1),
∴f(1﹣x)+f(x)=2,
故设f()+f()+f()+…+f()=m,
则f()+f()+…+f()=m,
两式相加得2×2016=2m,
则m=2016,
故答案为:2016.
【点评】本题主要考查导数的基本运算,利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键.求和的过程中使用了倒序相加法.
17. 如果函数f(x)=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点,那么实数a的范围是 .
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求出函数的导数,利用导函数有两个极值点,列出不等式求解即可.
【解答】解:函数f(x)=lnx+ax2﹣2x,函数的定义域:x>0,
可得:f′(x)=+2ax﹣2=,函数f(x)=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点,
可得:2ax2﹣2x+1=0,有两个不相等的正实数根,可得a>0,并且△=4﹣8a>0,
解得a∈(0,).
故答案为:(0,).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知复数.
(Ⅰ)若z为纯虚数,求实数a的值;
(Ⅱ)若z在复平面上对应的点在直线上,求实数a的值.
参考答案:
(Ⅰ)若z为纯虚数,则,且,解得实数a的值为2;
(Ⅱ)z在复平面上对应的点,
在直线上,则,解得.
19. (本题满分10分)
如图,正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直,M,N分别是DE,AB的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角M—AN—E的正切值.
参考答案:
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
(Ⅰ) 略
(Ⅱ)(文)解:作于点,连结.
∵,
平面.又∥
又∵
∴的平面角.
设易得:
20. 设f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2(a∈R).
(I)解关于x的不等式f(x)≥0;
(II)若a>0,当﹣1≤x≤1时,f(x)≤0时恒成立,求a的取值范围.
(III)若当﹣1<a<1时,f(x)>0时恒成立,求x的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【分析】(I)根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解.
(II)a>0,当﹣1≤x≤1时,利用二次方程根的分布,可求a的取值范围.
(III)当﹣1<a<1时,设g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1),g(a)>0恒成立.看成关于a的一次函数求x的取值范围.
【解答】解:( I)由不等式f(x)≥0可得,(ax﹣2)(x+1)≥0.
当a=0时,不等式可化为﹣2(x+1)≥0,解得x≤﹣1;
当a≠0时,方程(ax﹣2)(x+1)=0有两根.
若a<﹣2,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;
若a=﹣2,不等式可化为﹣2(x+1)2≥0,解得x=﹣1;
若﹣2<a<0,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;
若a>0,,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得;
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤﹣1};当a<﹣2时,不等式的解集为;当a=﹣2时,不等式的解集为{﹣1};当﹣2<a<0时,不等式的解集为;当a>0时,不等式的解集为.
(II)因a>0,f(x)≤0故函数f(x)开口向上,根据二次函数的特征,若要﹣1≤x≤1时,f(x)≤0时恒成立,只需即可.
因此,由,
解得0<a≤2.
所以,a的取值范围为(0,2].
( III)若当﹣1<a<1时,设g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1)
因此,当﹣1<a<1时,f(x)>0时恒成立等价于当﹣1<a<1时,g(a)>0恒成立.
当x=0时,g(a)=﹣2<0,不符合题意;
当x=﹣1时,g(a)=0,不符合题意;
当x≠0,x≠﹣1时,只需成立即可
即,解得﹣2≤x≤﹣1.
所以,x的取值范围为[﹣2,﹣1)
21. 命题p:关于的不等式对于一切恒成立,命题q:指数
函数是增函数,若为真,为假,求实数的取值范围;
参考答案:
设,由于关于的不等式对于一切恒成立,所以函数的图象开口向上且与轴没有交点,故,∴. 2分
函数是增函数,则有,即.2分
由于p或q为真,p且q为假,可知p、q一真一假. 5分
①若p真q假,则 ∴;8分
②若p假q真,则 ∴;11分
综上可知,所求实数的取值范围是{或}12分
22. 已知函数.
(1)求函数的极值点.
(2)设函数,其中,求函数在上的最小值.
参考答案:
见解析.
解:()函数的定义域为,,
∴令,得,令,得,
∴函数在单调递减,在单调递增,
∴是函数的极小值点,极大值点不存在.
()由题意得,
∴,
令得.
①当时,即时,在上单调递增,
∴在上的最小值为;
②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
∴在上的最小值为;
③当,即时,在区间上单调递减,
∴在上的最小值为,
综上所述,当时,的最小值为;
当时,的最小值为;
当时,的最小值为.