浙江省台州市天台洪畴中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 运行以下程序框图,若输入的,则输出的y的范围是( )
A.[﹣1,1] B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(0,1]
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】根据x的范围,分别求出对于的y=cosx和y=sinx的范围,取补集即可.
【解答】解:x∈[﹣,0]时,y=cosx,
故y=cosx∈[0,1],
x∈(0,],y=sinx,
故y=sinx∈(0,1],
故选:C.
2. 曲线与坐标轴围成的面积是
A. 1 B.2 C.3 D. 4
参考答案:
C
略
3. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是( )
A.已知圆的半径求圆的面积
B.随意抽4张扑克牌算到二十四点的可能性
C.已知坐标平面内两点求直线方程
D.加减乘除法运算法则
参考答案:
B
4. 已知直线及与函数图像的交点分别为,与函数图像的交点分别为,则直线与( )
A.相交,且交点在第I象限 B.相交,且交点在第II象限
C.相交,且交点在第IV象限 D.相交,且交点在坐标原点
参考答案:
D
略
5. 函数在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
6. 定义在上的函数满足:则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 一个几何体的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积为( )。
.4(9+2) cm2 . cm2
. cm2 . cm
参考答案:
A
略
8. 由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是( )
A. 144 B. 192 C. 216 D. 240
参考答案:
C
【分析】
由题意可得,满足条件的五位数,个位数字只能是0或5,分别求出个位数字是0或5时,所包含的情况,即可得到结果.
【详解】因为由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数,个位数字只能是0或5,万位不能是0;
当个位数字是0时,共有种可能;
当个位数字是5时,共有种情况;
因此,由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.
故选C
【点睛】本题主要考查排列的问题,根据特殊问题优先考虑的原则,即可求解,属于常考题型.
9. 设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U = AB,则集合 的真子集共有( )
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
参考答案:
C
试题分析: A∪B={3,4,5,7,8,9};A∩B= {4,7,9} ;所以Cu(A∩B)={3,5,8} 所以其真子集的个数为个,故选C.
考点:集合的子集、真子集的交、并、补集运算.
10. 已知变量满足,目标函数是,则有( )
A. B.无最小值
C.无最大值 D.既无最大值,也无最小值
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 5<k<6是方程为的曲线表示椭圆时的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)
参考答案:
必要不充分
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】方程思想;数学模型法;简易逻辑.
【分析】方程的曲线表示椭圆?(k﹣5)(6﹣k)>0,k﹣5>0,k﹣5≠6﹣k,解出即可判断出.
【解答】解:方程的曲线表示椭圆?(k﹣5)(6﹣k)>0,k﹣5>0,k﹣5≠6﹣k,?5<k<6,且k≠5.5.
∴5<k<6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
【点评】本题考查了充要条件的判定、椭圆的标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 设函数,,数列满足,则数列的前n项和等于
参考答案:
13. 直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用条件得出∠AOC=60°,C(b,2b),代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,b=a,即可得出结论.
【解答】解:∵∠AOC=∠BOC,
∴∠AOC=60°,
∴C(b,2b),
代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,∴b=a,
∴c==a,
∴e==,
故答案为.
14. 不等式|x-1|+|x+2|≥5.的解集是__________.
参考答案:
{x▏x≤-3或x≥2}
略
15. 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数=______________.
参考答案:
1
16. 设函数,,若存在唯一的整数,使得,则实数的取值范围为__________.
参考答案:
设,,
则由题意可知,存在唯一的整数,使函数的图象在函数的图象的下方.
∵,
∴当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
∴的最小值为,
又,函数过定点,
∴,或,
解得或,
故实数的取值范围为.
17. 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a2+c2﹣b2=ac,则角B的值是 .
参考答案:
【考点】余弦定理.
【专题】计算题.
【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值,推出B的值即可.
【解答】解:在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a2+c2﹣b2=ac,
由余弦定理可知cosB==,因为B是三角形内角,所以B=.
故答案为:.
【点评】本题考查余弦定理的应用,基本知识的考查.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f (x)=x2-4,设曲线y=f (x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
参考答案:
解:(1)∵=2x,∴切线斜率k=2xn,∴切线方程:y-(-4)=2xn(x-xn),
即y=2xn·x--4,令y=0得:x=,∴xn+1=(n∈N*).
(2)∵由xn+1=,∴=,
又an+1=,∴an+1==2·=2an,∴an+1=2an.
∴数列{an}为等比数列.
由上可得:an=a1·2n-1=·2n-1=(lg3)·2n-1,∴=(2n-1)·lg3,
∴=,∴=,解得:xn=.
略
19.
已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在轴上的截距b的取值范围.(12分)
参考答案:
解析:(1)当表示焦点为的抛物线;(2)当时,,表示焦点在x轴上的椭圆;(3)当a>1时,,表示焦点在x轴上的双曲线. (1设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0∵该直线与圆相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C的方程为.
又双曲线C的一个焦点为,∴,.∴双曲线C的方程为:.
(2)由得.令
∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.
因此,解得.又AB中点为,
∴直线l的方程为:. 令x=0,得.
∵,∴,∴.
20. 在边长为60cm的正方形铁皮的四切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
参考答案:
解:设箱底的边长为xcm,箱子的容积为V,则ks5u
V=x2?=-+30 x2
=-+60 x
当=0时,x=40或x=0(舍去),
x=40是函数V的唯一的极值点,也就是最大值点,
当x=40时,V=16000
所以,当箱底的边长是40cm时,箱子的容积最大,最大容积是16000cm3。
略
21. 设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2﹣a1)=b1.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;数列递推式.
【分析】(I)由已知利用递推公式可得an,代入分别可求数列bn的首项b1,公比q,从而可求bn
(II)由(I)可得cn=(2n﹣1)?4n﹣1,利用乘“公比”错位相减求和.
【解答】解:(1):当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2(n﹣1)2=4n﹣2,
故{an}的通项公式为an=4n﹣2,即{an}是a1=2,公差d=4的等差数列.
设{bn}的公比为q,则b1qd=b1,d=4,∴q=.
故bn=b1qn﹣1=2×,即{bn}的通项公式为bn=.
(II)∵cn===(2n﹣1)4n﹣1,
Tn=c1+c2+…+cn
Tn=1+3×41+5×42+…+(2n﹣1)4n﹣1
4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n﹣3)4n﹣1+(2n﹣1)4n
两式相减得,3Tn=﹣1﹣2(41+42+43+…+4n﹣1)+(2n﹣1)4n= [(6n﹣5)4n+5]
∴Tn= [(6n﹣5)4n+5]
22. 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}
(1)求实数a、b的值;
(2)解关于x的不等式>0(c为常数)
参考答案:
【考点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法.
【分析】(1)由题意可得,1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根,由韦达定理求得a和b的值.
(2)关于x的不等式>0 等价于 (x﹣c)(x﹣2)>0,分当c=2时、当c>2时、当c<2时三种情况,分别求得不等式的解集.
【解答】解:(1)由题意可得,1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根,由韦达定理可得 1+b=,且1×b=,
解得 a=1,b=2.
(2)关于x的不等式>0 等价于 (x﹣c)(x﹣2)>0,当c=2时,不等式的解集为{x|x≠2};
当c>2时,不等式的解集为{x|x>c,或 x<2};当c<2时,不等式的解集为{x|x<c,或 x>2}.